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Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/276

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RECHERCHES

premières des équations (Ω), on trouvera qu’elles sont satisfaites à l’aide de l’équation et des équations (III). Les trois dernières ont déjà lieu par hypothèse ; donc la forme se changera en par la substitution , , , , , , , et son déterminant sera , qui est égal au plus grand commun diviseur des nombres , donc par la quatrième conclusion du no précédent, sera composée de , .

237. Théorème. Si la forme est transformable en le produit de deux formes et que la forme renferme la forme pourra aussi se transformer en

Conservons pour les formes , , les signes du no 235, soit , et , , , la transformation qui change . en . On voit alors sans peine que se change en par la substitution , , , , , , , .

Représentons, pour abréger, ces coefficiens par , , ,  ; , , , et faisons , en appliquant ici les équations Ω du no 235. On trouve


donc en représentant par le déterminant de , et faisant , on aura parceque , et que suivant que la forme renferme proprement ou improprement ; ainsi dans la transformation de en la forme entrera de la même manière que dans la transformation de en , ou d’une manière différente, suivant que sera positif ou négatif, c’est-à-dire, suivant que renfermera proprement ou improprement.

238. Théorème. Si la forme renferme et que puisse se changer en la forme pourra aussi se changer en .

Conservons pour les formes , , les mêmes signes que plus haut, et supposons que se change en par la substitution , , , , on voit facilement que se changera en par la substitution