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ARITHMÉTIQUES.
240. Théorème. Si la forme est composée des formes et de et que le soit de et de les formes , sont proprement équivalentes.
I. Soient
et leurs determinans , , , , , , , qui ont tous les
mêmes signes, et sont entre eux comme des quarrés. Soit le plus grand commun diviseur des nombres , , , et que , , aient la même signification par rapport aux formes , , ; par la conclusion 4 du no 235, sera le plus grand commun diviseur des nombres et , et partant celui
des nombres, ; ; le plus grand commun diviseur des nombres , , ou des nombres et ;
donc est le plus grand commun diviseur des trois
nombres , , . Par la même raison est le plus grand commun diviseur des trois mêmes nombres ; donc
puisque et doivent avoir le même signe, on a ,
c’est-à-dire que les formes , ont le même déterminant.
II. Supposons maintenant que se change en par la substitution
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, |
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, |
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et en par la substitution
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, |
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, |
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et désignons par , , , les racines positives de , , , . Alors, par le no 235, on aura dix-huit équations, dont la moitié appartiendra à la transformation de en , et l’autre moitié à la transformation de en : la première sera ,
et on peut, à l’instar, former toutes les autres, que nous omettons ici. Au reste, les quantités , , , sont rationnelles,
mais peuvent être fractionnaires.
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