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RECHERCHES

représentons pour cette composition, par $P_{1},$ $Q_{1},$ $R_{1},$ etc. les analogues de $P,$ $Q,$ $R,$ etc. Dans la première on aura

$P_{1}$	$=an'_{1}$,	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\ \end{matrix}}\right\}$ ……(Ω'),
$R_{1}-S_{1}$	$=2bn'_{1}$,
$U_{1}$	$=cn'_{1}$,
$Q_{1}$	$=c'n_{1}$,
$R_{1}+S_{1}$	$=2b'n_{1}$,
$T_{1}$	$=c'n_{1}$,
$n_{1}n'_{1}A'$	$=q'_{1}q''_{1}-q_{1}q''_{1}$,
$2n_{1}n'_{1}B'$	$=p_{1}q'''_{1}+p'''_{1}q_{1}-p'_{1}q''_{1}-p''_{1}q'_{1}$,
$n_{1}n'_{1}C'$	$=p'_{1}p''_{1}-p_{1}p'''_{1}$

$n_{1}$ et $n'_{1}$ étant les racines de ${\frac {d}{D'}}$ et ${\frac {d'}{D'}},$ et de mêmes signes que $n,$ $n'.$ Soit donc ${\sqrt {\frac {D}{D'}}}=k$ pris positivement, on aura $n_{1}=kn,$ $n'_{1}=kn'.$ On déduit alors des six premières équations de $\Omega$ et $\Omega '$

$P_{1}=kP,\quad Q_{1}=kQ,\quad R_{1}=kR,\quad S_{1}=kS,\quad T_{1}=kT,\quad U_{1}=kU\ ;$

donc par le lemme du n^o 234, on pourra déterminer $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma ,$ $\delta$ de manière qu’on ait

	$\alpha p+\beta q=p_{1}$,	$\alpha p'+\beta q'=p'_{1}$,	etc.
	$\gamma p+\delta q=q_{1}$,	$\gamma p'+\delta q'=q'_{1}$,	etc.
et	$\alpha \delta -\beta \gamma =k$.

En substituant maintenant les valeurs de $p_{1},$ $p'_{1},$ etc., $q_{1},$ $q'_{1},$ etc. dans les trois dernières équations de $\Omega ',$ on trouvera, à l’aide des équations $n_{1}=kn,$ $n'_{1}=kn',$ et des trois dernières de $\Omega ,$

$A=A'\alpha ^{2}+2B'\alpha \gamma +C'\gamma ^{2},$

$B=A'\alpha \beta +B'(\alpha \delta +\beta \gamma )+C'\gamma \delta ,$

$C=A'\beta ^{2}+2B'\beta \delta +C'\delta ^{2}.$

ainsi la forme $F'$ se change en $F$ par la substitution $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma ,$ $\delta ,$ qui est propre, puisque $\alpha \delta -\beta \gamma =k,$ et que $k$ est positif.

Si donc $F'$ est aussi composée de $f,$ $f',$ et de la même manière que $F,$ on aura $D'=D,$ et partant $F$ et $F'$ sont proprement équivalentes. Plus généralement, si $G$ est composée de $g,$ $g'$ de la même manière que $F$ l’est de $f,$ $f',$ et que les formes $f,$ $f'$ soient proprement équivalentes aux formes $g,$ $g',$ $F$ et $G$ seront proprement équivalentes.

Comme le cas où les formes à composer entrent directement dans la composition est le plus simple de tous, et que les autres s’y ramènent facilement, nous nous y attacherons principalement, ensorte que lorsque nous parlerons d’une forme composée de deux autres, on devra toujours entendre que chaque forme entre directement dans la composition ; il en sera de même pour les formes transformables en produits d’autres formes.

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