La démonstration de ce théorème a déjà été donnée par Euclide, Él. vii, 32. Nous n’avons pas cependant voulu l’omettre, tant parceque plusieurs auteurs modernes ont présenté des raisonnements vagues au lieu de démonstration, ou bien ont négligé ce théorème ; que dans le but de faire mieux saisir, par ce cas très-simple, l’esprit de la méthode que nous appliquerons par la suite à des points bien difficiles.
15. Si aucun des nombres etc. n’est divisible par le nombre premier le produit etc. ne le sera pas non plus.
Suivant l’article précédent, n’est pas divisible par donc il en est de même de et ainsi de suite.
16. Théorème. Un nombre composé ne peut se résoudre que d’une seule manière, en facteurs premiers.
Il est évident par les élémens, que l’on peut toujours décomposer un nombre quelconque en facteurs premiers ; mais on suppose à tort tacitement que cette décomposition ne soit possible que d’une manière. Imaginons qu’un nombre composé étant des nombres premiers inégaux, soit encore décomposable d’une autre manière en facteurs premiers. Il est d’abord manifeste que dans ce second système de facteurs il ne peut entrer d’autres nombres premiers que puisque quelqu’autre que ce fût ne pourrait diviser qui est composé des premiers. De même aucun des nombres premiers ne peut y manquer, car sans cela il ne diviserait pas (No15) ; la différence ne peut donc porter que sur les exposans. Or soit un nombre premier qui ait dans l’un des systèmes l’exposant et dans l’autre l’exposant étant divisons de part et d’autre par restera dans l’un affecté de l’exposant et disparaîtra de l’autre, donc pourrait se décomposer de deux manières, dans l’une desquelles n’entrerait pas, tandis qu’il resterait dans l’autre, ce qui est contre ce que nous avons démontré.
17. Si donc le nombre est le produit de il s’ensuit que les nombres ne peuvent avoir de facteurs premiers différens de ceux de et que chacun de ces facteurs doit
