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RECHERCHES

245. Théorème. Si la forme est comprise dans le même ordre que que soit comprise dans le même ordre que la forme composée de aura le même déterminant, et sera comprise dans le même ordre que composée de

Soient , , , et les déterminants , ,  ; soit le plus grand diviseur commun des nombres le plus grand diviseur commun des nombres et que aient les mêmes significations par rapport aux et respectivement. L’ordre de la forme sera déterminé par les nombres , , , d’où il suit que les mêmes nombres auront lieu pour la forme  ; par la même raison, les nombres seront pour la forme ce qu’ils sont pour la forme . Or (no 235) les nombres , , sont déterminés par les nombres , ,  ; , ,  ; savoir, est le plus grand commun diviseur des nombres et , et (si l’on a en même temps , ), ou (si , ou ). Comme ces propriétés de suivent de ce que est composé de , , on voit sans peine que , , seront pour ce qu’ils sont pour , et que parconséquent et sont de même ordre.

Nous appellerons en conséquence l’ordre qui renferme la forme , ordre composé de ceux qui renferment et . Ainsi, par exemple, l’ordre composé de deux ordres proprement primitifs est aussi un ordre proprement primitif, et l’ordre composé d’un ordre proprement primitif et d’un ordre improprement primitif, est un ordre improprement primitif.

C’est dans le même sens que nous pourrons dire qu’un certain ordre est composé de plusieurs autres.

246. Problème. Étant proposées deux formes primitives quelconques de la composition desquelles naît la forme , du genre auquel appartiennent et déterminer le genre auquel appartient

I. Considérons d’abord le cas où une des deux formes au moins, la première par exemple, est proprement primitive, et désignons par , , , les déterminans des formes , ,  : alors sera le plus grand commun diviseur des nombres ,  ; étant ,