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ARITHMÉTIQUES.
Au reste, on peut tirer de là plusieurs artifices utiles dans la
pratique ; mais nous sommes forcés de ne pas nous arrêter plus
long-temps sur ce sujet, pour passer à des choses plus difficiles,
244. Si un nombre peut être représenté par une certaine
forme et un nombre par la forme que d’ailleurs la forme
soit transformable en on voit sans peine que le produit
peut être représenté par la forme Il suit de là que lorsque
les déterminans de ces formes sont négatifs, la forme sera positive, si et sont ou toutes deux positives, ou toutes deux
négatives, et négative, si l’une est positive et l’autre négative.
Arrêtons-nous particulièrement sur le cas que nous avons considéré au no précédent, où est composée de et où
ont le même déterminant supposons encore que les représentations des nombres , par les formes se fassent
par des valeurs premières entre elles des indéterminées, que la première appartienne à la valeur de l’expression et
la seconde à la valeur de l’expression et que
l’on prenne alors (no 168), les formes
seront proprement équivalentes aux formes
donc sera composée de ces deux formes ; mais la forme
sera composée des deux mêmes formes si, étant le
plus grand commun diviseur des nombres on fait
et donc
cette forme sera proprement équivalente à la forme Or le
nombre se représente par la forme en faisant dont le plus grand diviseur commun est
donc pourra être représenté par la forme de manière que
les valeurs des indéterminées aient un diviseur commun (no 166).
Donc toutes les fois que pourra être représenté par ,
au moyen de valeurs premières entre elles des indéterminées, et
cette représentation appartiendra à la valeur de l’expression
qui est congrue à suivant les modules
La condition a lieu quand est premier avec ou plus
généralement, quand le plus grand commun diviseur de est
premier avec
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