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RECHERCHES

dérivé de l’ordre improprement primitif de déterminant $-19$ ne contient qu’un seul genre composé d’une seule classe : il en est de même des classes négatives. Il est donc utile de chercher généralement la liaison des nombres de classes dans les différens ordres.

Supposons que $K$, $L$ soient deux classes de même ordre (positif) $O$ de déterminant $D$, et $M$ une classe proprement primitive de même déterminant, qui, composée avec $K$, donne pour résultante $L$, telle qu’on peut la trouver par le n^o 251. Dans quelques cas il peut arriver que $M$ soit l’unique classe proprement primitive, qui, composée avec $K$, produise $L$ ; dans d’autres, plusieurs classes proprement primitives différentes peuvent être douées de cette propriété. Supposons généralement qu’il y ait $r$ classes de cette espèce $M,$ $M',$ $M'',\ldots$$M^{r-1},$ qui, par leur composition avec $K$, donnent toutes la même classe, et désignons leur ensemble par $W$ ; soit $L'$ une autre classe de l’ordre $O,$ et $N'$ une classe proprement primitive, qui, composée avec $L$, produise $L'$, et désignons par $W'$ l’ensemble des classes $N'\times M,$ $N'\times M',$ $N'\times M''\ldots$$N'\times M^{r-1},$ qui seront toutes proprement primitives et différentes entre elles. Il est facile de voir que $K,$ par sa composition avec une classe quelconque de $W',$ produit $L',$ d’où l’on conclut que $W$ et $W'$ n’ont aucune classe commune : en outre, on prouve sans peine qu’il n’y a aucune classe proprement primitive, qui, par sa composition avec $K$, produise $L',$ et qui ne soit contenue dans $W'.$ De la même manière, si $L''$ est une classe de l’ordre $O,$ on trouvera $r$ classes proprement primitives différentes, tant entre elles qu’avec les classes $W$ et $W',$ et dont chacune composée avec $K$ donnera $L''$, et ainsi de suite pour les autres classes ; mais comme toute classe proprement primitive et positive de déterminant $D$ composée avec $K$, produit une classe de l’ordre $O$, (n^o 251) on déduit facilement de là, que si le nombre de toutes les classes de l’ordre est $n$, le nombre de toutes les classes proprement primitives (positives) de même déterminant est $rn$. Nous avons ainsi une règle générale : $\mathrm {K}$ et $\mathrm {L}$ étant deux classes quelconques de l’ordre $\mathrm {O} ,$ et $\mathrm {r}$ le nombre des classes proprement primitives de même déterminant, dont chacune produit $\mathrm {L}$ par sa composition avec $\mathrm {K} ,$ le nombre