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ARITHMÉTIQUES.
de toutes les classes de l’ordre proprement primitif (positif) sera fois plus grand que celui des classes de l’ordre
Comme les classes , peuvent être prises arbitrairement dans
l’ordre , on peut les choisir identiques, et même il sera avantageux de se servir de la classe qui contient la forme la plus simple
de cet ordre, et en prenant celle-ci pour et , la difficulté est
réduite à assigner toutes les classes proprement primitives, qui,
composées avec , reproduisent elle-même. Nous y parviendrons au moyen du théorème suivant :
254. Théorème. Si est la forme la plus simple de l’ordre de déterminant et une forme proprement primitive de même déterminant ; le nombre pourra être représenté par la forme si est la résultante d’elle-même et de et réciproquement, sera composée d’elle-même et de si peut être représenté par
1o. Si se change en par la substitution , , , ;
, , , , on a (no 235) , d’où
.
2o. Si peut être représenté par la forme , désignons les valeurs des indéterminées qui effectuent la représentation par
, ou soit ; prenons ,
, ,
, , . Cela fait, on s’assure aisément que se
change en par la substitution , , , ; , , , , pourvu
que les nombres , etc, soient entiers ; or, par la nature
de la forme la plus simple, est ou ; donc est toujours un nombre entier ; il résulte encore du même principe,
que est un nombre entier ; donc , , sont des
nombres entiers ; il reste donc seulement à prouver que et
sont des nombres entiers. Or on a
Si donc , il vient , , et partant et