Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/303

281

ARITHMÉTIQUES.

classes proprement primitives positives aux nombres de classes de l’ordre $O$.

Exemple. Soit $D=-531$, et $O$ l’ordre positif dérivé de l’ordre improprement primitif de déterminant $-59$, dans lequel la forme la plus simple est $(6,3,90)$. On a $A=6$, $a=1$, $a'=2$, $a''=3$, $a'''=6$. $V$ contiendra la forme $(1,0,531)$ ; $V'$ les formes $(4,1,133)$, $(4,3,135)$ ; $V''$ les formes $(9,0,59)$, $(9,3,60)$, $(9,6,63)$ ; enfin $V'''$ contiendra les formes $(36,3,15)$, $(36,9,17)$, $(36,15,21)$, $(36,21,27)$, $(36,27,35)$, $(36,33,45)$. De ces douze formes il y en a six à rejeter, la deuxième et la troisième de $V''$, la première, la troisième, la quatrième et la sixième de $V'''$, qui sont toutes des formes dérivées ; on trouve que les six autres appartiennent à des classes différentes ; en effet, le nombre des classes proprement primitives (positives) de déterminant $-531$ est $18$, et le nombre des classes improprement primitives positives de déterminant $-59$, ou le nombre des classes de déterminant $-531$ dérivées de celles-ci est $3$, partant le premier est au second comme $6$ est à $1$.

256. Cette solution sera mieux éclaircie par les observations générales suivantes :

I. Si l’ordre $O$ est dérivé de l’ordre proprement primitif, divisera $D$ ; mais si $O$ est dérivé de l’ordre improprement primitif ou improprement primitif lui-même, $A$ sera pair, $D$ sera divisible par ${\frac {1}{4}}A^{2}$ et le quotient $\equiv 1{\pmod {4}}$. Donc le quarré de tout diviseur de $A$ divisera $D$ ou au moins $4D$, et dans le second cas, le quotient sera toujours $\equiv 1{\pmod {4}}$.

II. Si $a^{2}$ divise $D$, toutes les valeurs de l’expression ${\sqrt {D}}{\pmod {a^{2}}}$ qui tombent entre $0$ et $a^{2}-1$ seront $0$, $a$, $2a$, etc. $a(a-1)$, et partant $a$ sera le nombre des formes de $V$ ; mais parmi elles il n’y en aura de primitives qu’autant qu’il y a de nombres premiers avec $a$ dans les suivans : ${\frac {D}{a^{2}}}$, ${\frac {D}{a^{2}}}-1$, ${\frac {D}{a^{2}}}-4$, ……${\frac {D}{a^{2}}}-(a-1)^{2}$. Ainsi quand $a=1$, $V$ n’aura qu’une forme $(1,0,-D)$, qui sera toujours proprement primitive. Quand $a=2$ ou une puissance de $2$, la moitié de ces nombres seront pairs, l’autre

N n