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ARITHMÉTIQUES.

${\frac {D}{a^{2}}}-\left(a-{\frac {1}{2}}\right)^{2}$. Toutes les fois que ${\frac {4D}{a^{2}}}\equiv 1{\pmod {8}}$, tous ces nombres seront pairs, et partant $V$ ne renfermera aucune forme proprement primitive ; mais quand ${\frac {4D}{a^{2}}}\equiv 5{\pmod {8}}$, tous ces nombres seront impairs, et partant, toutes les formes seront proprement primitives, si $a$ est $2$ ou une puissance de $2$. En général, il y aura dans ce cas autant de formes proprement primitives qu’il y a de nombres premiers avec $a$ dans la suite précédente. Le nombre de ces formes sera $NPQR$ si $a=2^{\nu }p^{\pi }q^{\chi }r^{\rho }$ ; $N$ étant $2^{\nu }$, et $P$, $Q$, $R$, etc. se déterminant comme dans le cas précédent.

Nous avons ainsi fixé le nombre des formes primitives contenues dans $V$, $V'$, $V''$, etc. Quant à la somme de ces nombres, on trouve sans peine la règle suivante : Si $2^{\nu }P'^{\alpha }Q'^{\beta }R'{\gamma }$, $Q'$, $R'$, etc. étant des nombres premiers différens, le nombre total des formes proprement primitives contenues dans $V$, $V'$, $V''$, etc. sera ${\frac {An'a'b'c'...}{2P'Q'R'...}}$, où l’on doit faire $n'=1$ dans le cas où $\nu =0$, et dans celui où ${\frac {4D}{A^{2}}}\equiv 1{\pmod {8}}$, $n'=2$, si ${\frac {D}{A^{2}}}$ est entier et $\nu =0$, $n'=3$, si ${\frac {4D}{A^{2}}}\equiv 5{\pmod {8}}$ et $\nu >0$. $a'=P'$, si $P'$ divise ${\frac {4D}{A^{2}}}$ ; $a'=P'\pm 1$, quand $P'$ ne divise pas ${\frac {4D}{A^{2}}}$, en prenant le signe $+$ ou le signe $-$, suivant que ${\frac {4D}{A^{2}}}$ est non-résidu ou résidu de $P'$. On déduit $b'$, $c'$, etc. de $Q'$, $R'$, comme $a'$ de $P$. Nous omettons, pour abréger, la démonstration.

V. Quant à ce qui regarde le nombre de classes que fournissent ces formes proprement primitives, il faut distinguer les trois cas suivans :

1^o . Quand $D$ est négatif, chaque forme proprement primitive fournit une classe particulière , excepté deux cas où l’on aurait ${\frac {4D}{A^{2}}}=-4$ ou$=-3$, c’est-à-dire, $D=-A^{2}$ ou $=-{\frac {3A^{2}}{4}}$. Pour démontrer ce théorème, il suffit évidemment de faire voir qu’il ne peut arriver que deux formes différentes de $V$, $V'$, $V''$, etc. soient proprement équivalentes. Supposons donc que $(h^{2},i,k)$, $(h'^{2},i',k')$ soient deux formes proprement primitives de $V$, $V'$,

N n 2 ^*