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Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/306

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RECHERCHES

, etc. appartenantes à la même classe, et que la première se change en la seconde par la substitution , , , , on aura les équations


On conclut facilement de là que n’est certainement pas  ; car on aurait , , , et partant, les formes , seraient identiques contre l’hypothèse. On voit ensuite que est divisible par le plus grand diviseur commun des nombres ,  ; en effet, en nommant ce diviseur, il divise et (II et III), mais sera premier avec  ; en outre est divisible par , puisqu’on a , et l’on en déduit facilement que est divisible par . Or on a , donc et partant est divisible par . Enfin on a . Donc en posant , , et seront des entiers dont le dernier ne peut être nul, et l’on a l’équation . Mais est le plus petit nombre divisible à-la-fois par et , parconséquent il divisera et par suite  ; donc sera un entier négatif que nous représenterons par , il en résultera


Dans cette équation le terme étant un quarré , ne peut être que ou  ; dans le premier cas on a et  ; donc est un quarré affecté du signe , et partant non  ; ainsi ne sera ni un ordre improprement primitif, ni un ordre dérivé d’un ordre improprement primitif. Donc sera entier, d’où l’on déduit facilement que est divisible par donc et , et partant un entier ; donc on a nécessairement ou , première exception. Dans le second cas, on aura  ; donc , et