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ARITHMÉTIQUES.

$\mu$ étant $>2$ et $P$ , $Q$ , $R$ , etc. des nombres premiers ou des puissances de nombres premiers impairs dont le nombre soit $n$ , on pourra prendre, tant pour ${\frac {1}{2}}B$ que pour ${\frac {D}{2B}}$ , les nombres : $1$ , $P$ , $Q$ , $R$ , etc. et les produits de tant de ces nombres qu’on voudra, avec le signe $+$ ou le signe $-$ .

On peut conclure de tout ce qui précède, que si $D$ est divisible par $n$ nombres premiers impairs différens (où $n$ doit être fait $=0$ si $D=\pm 1$ , $\pm 2$ , ou $\pm 2^{\mu }$ ), le nombre de toutes les formes proprement primitives $(A,B,C)$ dans lesquelles $B=0$ ou $={\frac {1}{2}}A$ sera $2^{n+1}$ quand $D\equiv 1$ , ou $\equiv 5{\pmod {8}}$ , $2^{n+2}$ quand $D\equiv 2$ , $3$ , $4$ , $6$ , $7{\pmod {8}}$ ^[1] ; enfin $2^{n+3}$ quand $D\equiv 0{\pmod {8}}$ . Si l’on compare ce résultat avec celui que nous avons obtenu pour le nombre des caractères possibles des formes proprement primitives de déterminant $D$ , on verra que dans tous les cas le premier est double du dernier. Au reste, il est évident que, pour les déterminans négatifs, il y a parmi les premières formes autant de positives que de négatives.

258. Toutes les formes trouvées dans le n^o précédent appartiennent évidemment à des classes ambiguës, et réciproquement dans toute classe ambiguë proprement primitive, il doit y avoir au moins une de ces formes. En effet, dans une telle classe, il y a nécessairement des formes ambiguës, et toute forme $(a,b,c)$ ambiguë proprement primitive de déterminant $D$ doit trouver au moins une forme qui lui soit équivalente parmi celles du n^o précédent, c’est-à-dire, une forme $\left(a,\ 0,\ -{\frac {D}{a}}\right)$ , ou une forme $\left(a,\ {\frac {1}{2}}a,\ {\frac {1}{4}}a-{\frac {D}{a}}\right)$ , suivant que $b\equiv 0$ , ou $\equiv {\frac {1}{2}}{\pmod {a}}$ . Ainsi le problème est réduit à trouver en combien de classes ces formes

peuvent se distribuer.

↑ Il est essentiel de remarquer que la contradiction qui semble se présenter ici ne provient que de ce que $n$ n’a pas la même signification qu’à l’article 1^o de ce numéro. En effet, dans le premier cas le facteur $2$ ou $2^{\mu }$ se trouve compris dans le nombre $n$ , tandis qu’il ne l’est pas dans le second. (Note du traducteur.)

O o

[1] Il est essentiel de remarquer que la contradiction qui semble se présenter ici ne provient que de ce que $n$ n’a pas la même signification qu’à l’article 1^o de ce numéro. En effet, dans le premier cas le facteur $2$ ou $2^{\mu }$ se trouve compris dans le nombre $n$ , tandis qu’il ne l’est pas dans le second. (Note du traducteur.)

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