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RECHERCHES
ambiguë ; on prouverait de même qu’en supposant
, il
s’ensuivrait que
est une classe ambiguë ; d’où l’on peut conclure que
se trouve nécessairement parmi les classes
,
,
, etc. Mais on voit facilement que parmi les trois classes
,
,
, il ne peut y en avoir qu’une ambiguë. En effet,
si
et
étaient ambiguës, ou si elles étaient identiques avec
leurs opposées respectives
,
, on aurait
,
ou
La même conclusion résulterait de la supposition de
l’ambiguité simultanée des classes
et
enfin si
et
étaient ambiguës ou identiques avec leurs opposées respectives
il en résulterait
et partant
ou
et
Il n’y
aura donc qu’une seule classe ambiguë proprement primitive qui,
composée avec
puisse produire
et parconséquent toutes les
classes
etc. seront différentes.
Le nombre des classes ambiguës d’un ordre dérivé est évidemment égal au nombre des classes ambiguës de l’ordre primitif dont
il est dérivé, et pourra ainsi sé déterminer par ce qui précède.
260. Problème. La classe proprement primitive
résultant de la duplication d’une classe
proprement primitive de même déterminant
on demande toutes les classes semblables dont la duplication donne
Soit
la classe principale de déterminant
et
etc. les autres classes ambiguës de ce déterminant ; désignons
par
etc. les classes
etc. ; toutes
les classes
etc. seront proprement primitives et différentes
entre elles, et l’on voit facilement que
naît de la duplication
de chacune d’elles. Or en nommant
une classe quelconque
proprement primitive de déterminant
qui produise
par sa
duplication, elle sera nécessairement comprise parmi les classes
etc. ; en effet, en supposant
, dans lequel
est une forme proprement primitive de déterminant
(no 249),
on aura
mais
donc
et partant
est donc ambiguë et se trouvera parmi les classes
etc. ; donc
se trouvera parmi les classes
etc.
Ainsi ces classes donnent la solution complète du problème.