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ARITHMÉTIQUES.

non-seulement pour le théorème fondamental, mais encore pour les autres théorèmes de la section précédente, relatifs aux résidus $-1$, $+2$, $-2$, basée sur des principes tout-à-fait différens, et non moins élégante que la première. Nous ne nous occuperons pas du déterminant $-4$ et de ceux qui sont des puissances de nombres premiers, parcequ’ils n’apprennent rien de nouveau.

Pour le déterminant $-1$, il n’y a aucune forme positive dont le caractère soit $3,4$ ; pour le déterminant $2$, il n’y a absolument aucune forme dont le caractère soit $3$ et $5,8$ ; pour le déterminant $-2$, il n’y a aucune forme positive dont le caractère soit $5$ et $7,8$. Pour le déterminant $p$, si $p$ est un nombre de la forme $4n+1$, ou pour le déterminant $-p$, si $p$ est un nombre de la forme $4n+3$, aucune forme proprement primitive (positive dans le dernier cas) n’aura le caractère $Np$. Cela posé, nous démontrons comme il suit le théorème fondamental, et les autres précités :

1^o . $-1$ est non-résidu de tout nombre positif de la forme $4n+3$. En effet, si $-1$ est résidu d’un tel nombre $A$, en faisant $-1=B^{2}-AC$, $(A,B,C)$ serait une forme de déterminant $-1$, dont le caractère serait $3,4$.

2^o . $-1$ est résidu de tout nombre premier $p$ de la forme $4n+1$ ; car le caractère de la forme $(-1,0,p)$, comme celui de toutes les formes de déterminant $p$, sera $Rp$, donc $-1R.p$.

3^o . $+2$ et $-2$ sont résidus de tout nombre premier $p$ de la forme $8n+1$ ; car les formes $\left(8,1,{\frac {1-p}{8}}\right)$, $\left(-8,1,{\frac {p-1}{8}}\right)$ ou les formes $\left(8,3,{\frac {9-p}{8}}\right)$, $\left(-8,3,{\frac {p-9}{8}}\right)$ seront proprement primitives de déterminant $p$, suivant que $n$ est impair ou pair ; donc leur caractère est $Rp$ ; donc $8Rp$ et $-8Rp$ ; d’où (n^o 98) $2Rp$ et $-2Rp$.

4^o . $+2$ est non-résidu de tout nombre de la forme $8n+3$ ou $8n+5$ ; car s’il était résidu d’un tel nombre $A$, il y aurait une forme $(A,B,C)$ de déterminant $2$ dont le caractère serait $3$ et $5,8$.

5^o . De même $-2$ est non-résidu de tout nombre de la forme

P p