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RECHERCHES

$8n+5$ , $8n+7$ ; sans quoi il y aurait une forme $(A,B,C)$ de déterminant $-2$ dont le caractère serait $5$ et $7,8$ .

6^o . $-2$ est résidu, de tout nombre premier p de la forme $8n+3$ . On peut prouver cette proposition de deux manières. D’abord, $2$ étant $N.p$ et $-1$ aussi, on aura nécessairement (n^o 98) $-2Rp$ . Ensuite si l’on considère le déterminant $+2p$ , pour lequel il y a quatre caractères assignables : $R.p$ , $1$ et $3,8$ ; $R.p$ , $5$ et $7,8$ ; $N.p$ , $1$ et $3,8$ ; $N.p$ , $5$ et $7.8$ ; la moitié au moins ne répond à aucun genre. Or la forme $(1,0,-2p)$ a le premier caractère, la forme $(-1,0,2p)$ a le quatrième ; donc le deuxième et le troisième doivent être rejetés. Ainsi, comme le caractère de la forme $(p,0,-2)$ , relativement au nombre $8$ , est $1$ et $3,8$ , son caractère, relativement à $p$ , ne pourra être que $Rp$ ; donc $-2Rp$ .

7^o . $2$ est résidu de tout nombre premier $p$ de la forme $8n+7$ ; on peut de même prouver cette proposition de deux manières. D’abord, $-2$ étant non-résidu de $p$ et $-1$ aussi, on a nécessairement $+2Rp$ . Ensuite, comme l’une ou l’autre des formes $\left(8,1,{\frac {1+p}{8}}\right)$ , $\left(8,3,{\frac {9+p}{8}}\right)$ est proprement primitive de déterminant $-p$ , suivant que $n$ est pair ou impair, son caractère sera $R.p$ , donc $8R.p$ , et partant $2Rp$ .

8^o . Tout nombre premier $p$ de la forme $4n+1$ est non-résidu de tout nombre impair $q$ qui n’est pas résidu de $p$ . Car il est clair que si $p$ était résidu de $q$ , il y aurait une forme proprement primitive de déterminant $p$ dont le caractère serait $N.p$ .

9^o . De la même manière, si un nombre quelconque impair $q$ est non-résidu d’un nombre premier $p$ de la forme $4n+3$ , $-p$ sera non-résidu de $q$ ; autrement il y aurait une forme positive, proprement primitive, et de déterminant $-p$ dont le caractère serait $N.p$ .

10^o . Tout nombre premier $p$ de la forme $4n+1$ est résidu de tout autre nombre premier $q$ qui est résidu de $p$ . En effet, si $q$ est aussi de la forme $4n+1,$ cette proposition est une suite de la huitième ; mais si $q$ est de la forme $4n+3,$ $-q$ sera résidu de $p$ par la deuxième proposition, et partant, par la neuvième, $pR.q$ .