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RECHERCHES

répondra aucun genre proprement primitif (positif) à tous les caractères complets qui renfermeront un nombre impair des caractères particuliers $\omega$. Dans tous les cas, les caractères particuliers qui expriment la relation à l’égard de diviseurs de $D$ qui ne sont pas diviseurs de $D'$ n’influent pas sur la possibilité ou l’impossibilité des genres. Or, par la théorie des combinaisons, on voit aisément que l’on exclut effectivement la moitié de tous les caractères complets assignables.

La démonstration s’établit de la manière suivante :

Des principes de la section précédente, ou des théorèmes que nous venons de démontrer pour la seconde fois, on déduit sans peine que si $p$ est un nombre premier impair et positif qui ne divise pas $D$, et auquel s’applique un des caractères rejetés, $D'$ renfermera un nombre impair de facteurs qui sont non-résidus de $p$, et que parconséquent $D'$, et par suite $D$, sera non-résidu de $p$. Or on voit facilement (n^o 228) qu’on ne peut supposer l’existence d’un quelconque des caractères rejetés, et à-la-fois que ce caractère n’appartienne à aucun facteur d’un produit de tant de nombres premiers avec $D$ qu’on voudra ; d’où, réciproquement, il est clair que tout nombre impair positif premier avec $D$, auquel convient un des caractères rejetés, renfermera nécessairement un facteur premier auquel le caractère appartienne, et que partant $D$ est non-résidu de ce nombre. Si donc il existait une forme proprement primitive (positive) de déterminant $D$ auquel répondît ce caractère, $D$ serait non-résidu de tout nombre positif impair premier avec lui, qui pourrait être représenté par cette forme, ce qui est contradictoire avec le théorème du n^o 154.

On peut prendre pour exemple les classifications données aux n^os 230 et 231. Chacun pourra d’ailleurs en augmenter le nombre à volonté.

264. De cette manière, tous les caractères assignables pour un déterminant donné se divisent en deux espèces $P,$ $Q,$ dont chacune est composée d’un même nombre, et de manière qu’aucune forme proprement-primitive, ne puisse avoir un des caractères de $Q$ ; mais quant à $P,$ jusqu’à présent rien n’empêche que chacun des caractères qui y sont contenus n’appartienne à des formes