Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/323

301

ARITHMÉTIQUES.

semblables. À l’égard de ces deux espèces de caractères, on remarquera la proposition suivante, qui se déduit facilement de la nature même de ces caractères : Si l’on compose un caractère de $\mathrm {P}$ avec un caractère de $\mathrm {Q}$ (en feignant qu’il existe des genres qui répondent à cette espèce de caractère, et y appliquant ce qui a été dit n^o 246) on trouvera un caractère de $\mathrm {Q} \,;$ si l’on compose deux caractères de $\mathrm {P} ,$ ou deux caractères de $\mathrm {Q} ,$ le caractère résultant appartient à $\mathrm {P} .$ À l’aide de ce théorème, on peut aussi exclure la moitié des caractères pour les genres négatifs et improprement primitifs, de la manière suivante :

1^o. Pour le déterminant négatif $D$, les genres négatifs sont contraires aux genres positifs, c’est-à-dire, que les caractères de $P$ n’appartiendront à aucun genre négatif, et que ces genres n’auront que des caractères de l’espèce $Q$. En effet, quand $D'\equiv 1{\pmod {4}}$, $-D'$ sera un nombre positif de la forme $4n+3$, et parconséquent parmi les nombres $a$, $b$, $c$, etc. il y en aura un nombre impair de la forme $4n+3$, de chacun desquels $-1$ sera non-résidu, d’où il suit que le caractère complet de la forme $(-1,0,D)$ renferme un nombre impair des caractères particuliers de $\omega$, ou qu’il appartient à $Q$. Quand $D'\equiv 3{\pmod {4}},$ par la même raison, entre les nombres $a$, $b$, $c$, etc., il n’y en aura aucun, ou il y en aura un nombre pair de la forme $4n+3$ ; mais comme dans ce cas le caractère complet de la forme $(-1,0,D)$ renferme l’un ou l’autre des deux caractères particuliers $3,8$ ou $7,8$, il est clair que ce caractère complet appartient encore à $Q$. On obtient sans peine la même conclusion dans les autres cas, desorte que le caractère de la forme négative $(-1,0,D)$ est toujours compris dans $Q$. Mais comme cette forme, composée avec une autre forme quelconque proprement primitive et négative, donne pour résultante une forme semblable positive, on voit facilement qu’aucune forme proprement primitive négative ne peut avoir un des caractères de $P$

2^o. On prouve de même, pour les genres improprement primitifs positifs, que la chose a lieu comme pour les genres proprement primitifs, ou d’une manière contraire, suivant que $D\equiv 1$ ou $\equiv 5{\pmod {8}}$, Car dans le premier cas, on aura aussi $D'\equiv 1$