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ARITHMÉTIQUES.

Soit ${\begin{array}{l}g={\begin{pmatrix}a,&a',&a''\\b,&b',&b''\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ la forme en laquelle $f$ se change par la substitution

$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ ; ——$\alpha '$, $\beta '$, $\gamma '$ ; ——$\alpha ''$, $\beta ''$, $\gamma '',$

et ${\begin{array}{l}G={\begin{pmatrix}A,&A',&A''\\B,&B',&B''\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ la forme adjointe à $g$. Alors il est évident qu’on aura $a=p$, $b''=q$, $a'=r$, $A''=D$ et que $\Delta$ sera le déterminant de la forme $g$, d’où

$B^{2}=\Delta p+A'D$, —$BB'=-\Delta q+B''D$, —$B'^{2}=\Delta r+AD.$

Ainsi, par exemple, la forme $19t^{2}+6tu+41u^{2}$ se représente par la forme $x^{2}+x'^{2}+x''^{2}$, en posant $x=3t+5u$, $x'=3t-4u$, $x''=t$ ; d’où, en faisant $\gamma =-1$, $\gamma '=1$, $\gamma ''=0$, on trouve $B=-171$, $B'=27$, ou $(-171,27)$ pour une valeur de l’expression ${\sqrt {-1(19,-3,41)}}{\pmod {770}}.$

Il suit de là que si $\Delta (p,-q,r)$ n’est pas résidu quadratique de $D$, $\varphi$ ne peut être représenté proprement par aucune forme ternaire de déterminant $\Delta$. Ainsi, dans le cas où $\Delta$ et $D$ sont premiers entre eux, $\Delta$ doit être le nombre caractéristique de la forme $\varphi$.

II. Comme $\gamma$, $\gamma '$, $\gamma ''$ peuvent être déterminés d’une infinité de manières, il en résultera différentes valeurs pour $B$, $B'$, et nous allons chercher quelle relation elles ont entre elles. Supposons que $\delta$, $\delta '$, $\delta ''$ soient aussi tels que

$(\alpha '\beta ''-\alpha ''\beta ')\delta +(\alpha ''\beta -\alpha \beta '')\delta '+(\alpha \beta '-\alpha '\beta )\delta ''=k',$

$k'$ pouvant être $+1$ et $-1$, et que la forme $f$ se change, par la substitution

$\alpha ,\,\beta ,\,\delta \,;\quad \alpha ',\,\beta ',\,\delta '\,;\quad \alpha '',\,\beta '',\,\delta '',$

en la forme ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}m,&m',&m''\\n,&n',&n''\\\end{pmatrix}}=h\end{array}}$, dont l’adjointe est ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}M,&M',&M''\\N,&N',&N''\\\end{pmatrix}}=H\end{array}}$ ; alors $g$ et $h$ seront équivalentes ainsi que $G$ et $H$ ; et par l’application des principes des n^os 169 et 170, on trouvera que la forme $H$ se change en la forme $G$ par la substitution

$k$, $0$, $0$ ; ——$0$, $k$, $0$ ;—— $\zeta$, $\eta$, $k,$

en faisant

$(\beta '\gamma ''-\beta ''\gamma ')\delta +(\beta ''\gamma -\beta \gamma '')\delta '+(\beta \gamma '-\beta '\gamma )\delta ''$	$=\zeta$,
$(\gamma '\alpha ''-\gamma ''\alpha ')\delta +(\gamma ''\alpha -\gamma \alpha ')\delta '+(\gamma \alpha '-\gamma '\alpha )\delta ''$	$=\eta$.