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ARITHMÉTIQUES

parvienne à $m=\mu n+1\,;$ ce qui doit toujours arriver. Il en résultera $a=[n,\mu ,\dots \gamma ,\beta ,\alpha ]\,;$ $b=[n,\mu ,\dots \gamma ,\beta ]\,;$ et si l’on prend $x=[\mu ,\dots \gamma ,\beta ],$ $y=[\mu ,\dots \gamma ,\beta ,\alpha ],$ on aura $ax=by+1,$ quand le nombre des lettres $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma \dots \mu ,$ $n$ est pair, et $ax=by-1,$ quand il est impair.

28. Euler est le premier qui ait donné la résolution de ces équations (Comment. de Petersb. T. VII, p. 46). La méthode qu’il a employée consiste à substituer d’autres inconnues à la place de $x$ et de $y$, elle est d’ailleurs assez connue. Lagrange a traité le problème d’une manière un peu différente. Il observe que si l’on réduit la fraction ${\frac {a}{b}}$ en fraction continue

${\cfrac {1}{\alpha +{\cfrac {1}{\beta +{\cfrac {1}{\gamma +\ {\text{etc.}}}}}}}}$
	$+{\cfrac {1}{\mu +{\cfrac {1}{n}}}}$

et qu’après avoir effacé sa dernière partie ${\frac {1}{n}}$, on la ramène à une fraction ordinaire ${\frac {x}{y}}$, on aura $ax=by\pm 1$ Au reste les deux méthodes conduisent au même algorithme. Les recherches de Lagrange se trouvent dans l’Histoire de l’Académie de Berlin, année 1767, pag. 175, et avec d’autres, dans les Additions à l’Algèbre d’Euler.

29. La congruence $ax+t\equiv u$, dans laquelle le module n’est pas premier avec $a$, se ramène facilement au cas précédent. Soit $m$ le module et $\delta$ le plus grand diviseur commun entre $a$ et $m$ ; il est clair d’abord que toute valeur de $x$ qui satisfera à la congruence, suivant le module $m$, y satisfera aussi suivant le module $\delta$ (n^o 5 ). Mais puisque $\delta$ divise $a$, on a toujours $ax\equiv 0{\pmod {\delta }}$ ; donc on doit avoir $t\equiv u{\pmod {\delta }}$, ou $t-u$ divisible par $\delta$, pour que la congruence soit résoluble.

Posons donc $a=\delta e$, $m=\delta f$, $t-u=\delta k$ ; $e$ et $f$ seront premiers entre eux, et la congruence proposée $\delta ex+\delta k\equiv 0{\pmod {\delta f}}$, équivaudra à celle-ci, $ex+k\equiv 0{\pmod {f}}$ ; c’est-à-dire, que toute valeur de $x$ qui satisfera à la seconde, satisfera aussi à la première, et vice versa. En effet, $ex+k$ sera divisible par $f$, quand $\delta ex+\delta k$ le sera par $\delta f$ et réciproquement. Mais nous avons résolu la congruence