330
RECHERCHES
est premier avec , on aura pour les valeurs de plus
grandes que .
III. Cela fait, il est évident que toute représentation propre
de la forme par appartient nécessairement à quelqu’une des
valeurs restantes et à une seule ; ainsi il faut parcourir
ces différentes valeurs, et chercher les représentations qui appartiennent à chacune d’elles.
Pour trouver les représentations qui appartiennent à une valeur
donnée , il faut déterminer d’abord une forme ternaire
dont le déterminant soit , et dans laquelle on
ait , , , , ; les valeurs de , , se déduisent de là, à l’aide des équations du
no 276, II, par lesquelles on voit facilement que lorsque et
sont premiers entre eux, les nombres , , sont nécessairement entiers ; puisque les produits de ces nombres par et
sont des nombres entiers ; mais en général si l’un de ces trois
nombres se trouve fractionnaire, ou si les formes , ne sont
pas équivalentes, il n’y aura aucunes représentations de par
appartenantes à la valeur , mais si , , sont entiers
et que les formes , soient équivalentes, toute transformation de en , comme
,
,
;
——,
,
;
——,
,
donne une représentation telle que , , ;
et de cette manière il n’y a aucune représentation qui ne puisse se déduire d’une transformation. Ainsi la partie
du second problème, relative aux représentations propres, est ramenée au troisième problème.
IV. Au reste, les différentes transformations de en produisent toujours des représentations différentes, excepté le seul
cas où est une valeur opposée à elle-même, dans lequel
deux transformations ne donnent qu’une seule représentation. Supposons, en effet, que se change aussi en par la substitution
,
,
;
——,
,
;
——,
,
qui donne la même représentation que la précédente, et désignant