Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/352

330

RECHERCHES

est premier avec $D$, on aura $n=0$ pour les valeurs de $D$ plus grandes que $2$.

III. Cela fait, il est évident que toute représentation propre de la forme $\varphi$ par $f$ appartient nécessairement à quelqu’une des ${\frac {m+n}{2}}$ valeurs restantes et à une seule ; ainsi il faut parcourir ces différentes valeurs, et chercher les représentations qui appartiennent à chacune d’elles.

Pour trouver les représentations qui appartiennent à une valeur donnée $(B,B')$, il faut déterminer d’abord une forme ternaire ${\begin{array}{l}g={\begin{pmatrix}a,&a',&a''\\b,&b',&b''\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ dont le déterminant soit $\Delta$, et dans laquelle on ait $a=p$, $b''=q$, $a'=r$, $ab-b'b''=B$, $a'b'-bb''=B'$ ; les valeurs de $b$, $b'$, $a''$ se déduisent de là, à l’aide des équations du n^o 276, II, par lesquelles on voit facilement que lorsque $D$ et $\Delta$ sont premiers entre eux, les nombres $b$, $b'$, $a''$ sont nécessairement entiers ; puisque les produits de ces nombres par $D$ et $\Delta$ sont des nombres entiers ; mais en général si l’un de ces trois nombres se trouve fractionnaire, ou si les formes $f$, $g$ ne sont pas équivalentes, il n’y aura aucunes représentations de $\varphi$ par $f$ appartenantes à la valeur $(B,B')$, mais si $b$, $b'$, $a''$ sont entiers et que les formes $f$, $g$ soient équivalentes, toute transformation de $f$ en $g$, comme

$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ ; ——$\alpha '$, $\beta '$, $\gamma '$ ; ——$\alpha ''$, $\beta ''$, $\gamma '',$

donne une représentation telle que $x=\alpha t+\beta u$, $x'=\alpha 't+\beta 'u$, $x''=\alpha ''t+\beta ''u$ ; et de cette manière il n’y a aucune représentation qui ne puisse se déduire d’une transformation. Ainsi la partie du second problème, relative aux représentations propres, est ramenée au troisième problème.

IV. Au reste, les différentes transformations de $f$ en $g$ produisent toujours des représentations différentes, excepté le seul cas où $(B,B')$ est une valeur opposée à elle-même, dans lequel deux transformations ne donnent qu’une seule représentation. Supposons, en effet, que $f$ se change aussi en $g$ par la substitution

$\alpha$, $\beta$, $\delta$ ; ——$\alpha '$, $\beta '$, $\delta '$ ; ——$\alpha ''$, $\beta ''$, $\delta '',$

qui donne la même représentation que la précédente, et désignant