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ARITHMÉTIQUES.

par $k$, $k'$, $\zeta$, $\eta$ les mêmes nombres qu’en II, n^o précédent, on aura $B=kk'B+\eta k'D$, $B'=kk'B'+\zeta k'D$, si donc chacun des nombres $k$, $k'=+1$ ou $-1$, on aura $\eta =0$, $\zeta =0$, d’où l’on déduit facilement $\delta =\gamma$, $\delta '=\gamma '$, $\delta ''=\gamma ''$. Ainsi ces deux transformations ne pourront être différentes que dans le cas où l’un des nombres $k$, $k'$ est $+1$ et l’autre $-1$. Or alors $B\equiv -B'$, $B'\equiv -B'{\pmod {D}}$, c’est-à-dire que la valeur $(B,B')$ est opposée à elle-même.

V. Il suit facilement de ce que nous avons dit (n^o 271) sur les caractères des formes définies et indéfinies, que si $\Delta$ est positif, $D$ négatif et $\varphi$ une forme négative, $g$ est une forme définie négative, et que si $\Delta$ est positif et $D$ positif ou négatif, mais $\varphi$ une forme positive, $g$ est une forme indéfinie. Or comme $f$, $g$ ne peuvent être équivalentes, à moins qu’à cet égard elles ne soient semblables, il est évident que des formes binaires de déterminant positif et les formes positives ne peuvent être représentées proprement par une forme ternaire, indéfinie de déterminant positif, et que par une forme ternaire de la première ou de la deuxième espèce, on ne peut représenter que des formes binaires de la deuxième ou de la première respectivement. On peut conclure de la même manière, que par une forme ternaire définie de déterminant négatif (qui est positive), on ne peut représenter que des formes binaires positives, et par une forme ternaire indéfinie de déterminant négatif, que des formes binaires négatives et des formes de déterminant positif.

284. Comme les représentations impropres d’une forme binaire $\varphi$ de déterminant $D$, par une forme ternaire $f$ qui a pour adjointe $F$, sont celles d’où l’on déduit les représentations impropres du nombre $D$ par la forme $F$, il est évident que $\varphi$ ne peut être représenté improprement par $f$, à moins que $D$ n’ait des diviseurs quarrés. Supposons que les différens diviseurs quarrés de $D$, non compris $1$, soient $e^{2}$, $e'^{2}$, $e''^{2}$, etc., dont le nombre sera toujours fini puisque $D$ ne peut pas être $=0$, toute représentation impropre de $\varphi$ par $f$ donnera une représentation du nombre $D$ par $F$, dans laquelle les valeurs des indéterminées auront pour plus grand commun diviseur l’un des nombres $e$, $e'$, $e''$, etc. Par cette raison, nous dirons, pour abréger, que toute représen-

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