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RECHERCHES

tation impropre de la forme $\varphi$ dépend du diviseur quarré $e^{2}$ , ou $e'^{2}$ , ou $e''^{2}$ , etc. qui lui correspond. Or toutes les représentations de la forme $\varphi$ dépendantes d’un diviseur quarré $e^{2}$ , dont nous supposons la racine $e$ prise positivement, se trouvent de la manière suivante. De la démonstration synthétique que nous en donnons, pour abréger, on pourra facilement déduire l’analyse qui nous y a conduits.

1^o. On cherchera toutes les formes binaires de déterminant ${\frac {D}{e^{2}}}$ qui se changent en la forme $\varphi$ par la substitution $T=\kappa t+\lambda u$ , $U=\mu u$ , $T$ et $U$ désignant les indéterminées d’une telle forme, $t$ , $u$ les indéterminées de la forme $\varphi$ ; $\kappa$ , $\mu$ des entiers positifs dont le produit est parconséquent $=e$ , $\lambda$ un entier positif moindre que $\mu$ , ou zéro. Ces formes, ainsi que les transformations qui leur répondent, se trouvent ainsi qu’il suit :

On égalera successivement $\kappa$ aux différens diviseurs positifs de $e$ , y compris $1$ et $e$ , l’on fera $\mu ={\frac {e}{\kappa }}$ ; pour chacune des valeurs déterminées de $\kappa$ , $\mu$ , on donnera à $\lambda$ toutes les valeurs entières depuis $0$ jusqu’à $\mu -1$ , et l’on aura certainement toutes les transformations. Or la forme qui se change en $\varphi$ par la substitution $T=\kappa t+\lambda u$ , $U=\mu u$ , se trouve en cherchant la forme en laquelle $\varphi$ se change par la substitution $t={\frac {T}{\kappa }}-{\frac {\lambda U}{e}}$ , $u={\frac {U}{\mu }}$ , et l’on obtiendra les formes qui répondent à chacune des transformations ; mais il ne faudra conserver que celles dont les trois coefficiens sont entiers^[1].

2^o. Soit $\Phi$ une de ces formes qui se change en $\varphi$ par la substitution $T=\kappa t+\lambda u$ , $U=\mu u$ ; on cherchera toutes les représentations propres de $\Phi$ par $f$ , s’il en existe ; supposons-les représentées indéfiniment par

x=AT+BU

, —

x'=A'T+B'U

, —

x''=A''T+B''U

……(P) ;

↑ Si nous pouvions donner plus de détails sur ce problème, nous abrégerions beaucoup la solution. Il est d’abord évident que $\kappa$ doit être choisi de manière à ce que son quarré soit diviseur du premier coefficient de $\varphi$ . Au reste, nous nous réservons de reprendre dans une autre occasion ce problème, d’où l’on peut tirer des solutions plus simples des problèmes des n^os 213, 214.

[1] Si nous pouvions donner plus de détails sur ce problème, nous abrégerions beaucoup la solution. Il est d’abord évident que $\kappa$ doit être choisi de manière à ce que son quarré soit diviseur du premier coefficient de $\varphi$ . Au reste, nous nous réservons de reprendre dans une autre occasion ce problème, d’où l’on peut tirer des solutions plus simples des problèmes des n^os 213, 214.

[1]