Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/365

343

ARITHMÉTIQUES.

primitif négatif existe, dans lequel les caractères de l’espèce $P$ seront possibles ou impossibles, suivant que $M\equiv 3$ ou $\equiv 7{\pmod {8}}$, (Voyez n^o 264, 3^o.) Si donc $M\equiv 3{\pmod {8}}$, il y aura dans cet ordre un genre dont $\omega$ sera le caractère, ainsi $1$ sera nombre caractéristique de toutes les formes qui y seront contenues. Si $M\equiv 7{\pmod {8}}$, aucune forme négative ne pourra jouir de cette propriété.

3^o. Quand $M\equiv 1{\pmod {4}}$, $\omega$ n’est pas le caractère complet, il faut y ajouter la relation à $4$. Mais il est clair que $\omega$ doit nécessairement entrer dans le caractère de la forme dont $1$ est nombre caractéristique, et que réciproquement toute forme dont le caractère est $\omega$ ; $1,4$ ou $\omega$ ; $3,4$ aura $1$ pour nombre caractéristique. Or, $\omega$ ; $1,4$ est le caractère du genre principal, qui appartient à $P$ et est parconséquent impossible dans l’ordre proprement primitif négatif. Par la même raison, le caractère $\omega$ ; $3,4$ appartiendra à $Q$ (n^o 263) ; donc il y aura dans l’ordre proprement primitif négatif un genre qui lui répondra et dont toutes les formes auront $1$ pour nombre caractéristique.

Dans ce cas, non plus que dans le suivant, il n’y a pas d’ordre improprement primitif.

4^o. Quand $M\equiv 2{\pmod {4}}$, il faut joindre à $\omega$ la relation au nombre $8$, pour avoir le caractère complet. Ces relations sont $1$ et $3,8$ ou $5$ et $7,8$, quand $M\equiv 2{\pmod {8}}$, et $1$ et $7,8$ ou $3$ et $5,8$, quand $M\equiv 6{\pmod {8}}$. Pour le premier cas, le caractère $\omega$ ; $1$ et $3,8$ appartient évidemment à $P$, et partant le caractère $\omega$ ; $5$ et $7,8$ appartient à $Q$ ; donc il répond à ce dernier caractère un genre proprement primitif négatif. Par la même raison, pour le second cas, il y a dans l’ordre proprement primitif négatif un genre dont les formes sont douées des propriétés précitées ; le caractère de ce genre est $\omega$ ; $3$ et $5,8$.

Il résulte de tout cela qu’il n’y a de formes primitives de déterminant $-M$, dont le nombre caractéristique soit $1$, que quand $M$ est congru à l’un des nombres $1$, $2$, $3$, $5$, $6$, suivant le module $8$, et cela dans un seul genre qui sera impropre quand desorte qu’il n’en existe aucune lorsque $M\equiv 0$, $4$ ou $7{\pmod {8}}$. Au reste, il est évident que si $(-a,-b,-c)$ est une forme