primitive négative qui ait pour nombre caractéristique, sera une forme primitive positive dont le nombre caractéristique sera . On voit par là que dans les cinq premiers cas (quand , , , , ), il existe un genre primitif positif dont le nombre caractéristique est , genre impropre si , et que dans les trois autres (quand , , ) il n’en existe aucune.
289. À l’égard des représentations propres des formes binaires par la forme ternaire , on peut déduire ce qui suit de la théorie générale exposée au no 282.
1o . La forme binaire ne peut être représentée par la forme , à moins qu’elle ne soit primitive, positive, et que son nombre caractéristique ne soit (déterminant de la forme ). Ainsi aucune forme de déterminant positif, ou même de déterminant négatif , si ou ne pourra être représentée proprement par
2o . Mais si est une forme primitive positive de déterminant , et que soit son nombre caractéristique, il sera aussi celui de son opposée , et alors chaque valeur de l’expression fournira des représentations de par , c’est-à-dire que les coefficiens de la forme ternaire de déterminant (no 283) seront nécessairement entiers, que sera une forme définie et partant équivalente à (no 285, I).
3o . Le nombre des représentations qui appartiennent à la même valeur de l’expression est égal dans tous les cas, excepté dans ceux où ou , au nombre de transformations de en (no 285, III), et sera parconséquent (no 285) égal à . Il suit de là que lorsque l’on connaîtra une représentation appartenante à une valeur donnée, on trouvera les autres, tant en permutant les valeurs de , , entre elles de toutes les manières possibles, qu’en les affectant de différens signes. Ainsi les quarante-huit représentations ne donnent qu’une seule décomposition de la forme en trois quarrés, si l’on ne considère que les quarrés, et non l’ordre et les signes des racines,
