formes de déterminant et , qui sont sujettes à quelques exceptions. Observons d’abord généralement que si , sont deux formes binaires équivalentes quelconques, (Θ) une transformation de la première en la seconde, en combinant avec (Θ) une représentation quelconque de la forme par une certaine forme ternaire , on obtient une représentation de la forme par ; en outre, que de cette manière, les représentations propres de conduisent à des représentations propres de , les représentations différentes de à des représentations différentes de , et qu’en opérant de même sur toutes les premières, on obtiendra toutes les dernières. Tout cela se prouve facilement par le calcul. Ainsi l’une des formes peut se représenter par d’autant de manières que l’autre.
1o. Soit d’abord et une autre forme binaire de déterminant qui sera parconséquent équivalente à ; supposons que se change en par la substitution , . La forme se représente par la forme ternaire , en posant , , . En permutant , , , il en résulte six représentations, et de chacune d’elles on en déduit quatre en changeant les signes de et de , desorte qu’il y a en tout vingt-quatre représentations différentes qui répondent à une seule décomposition en trois quarrés et qui sont évidemment les seules. On conclut de là que la forme ne peut se décomposer que d’une seule manière en trois quarrés, qui sont :
cette décomposition équivaut à vingt-quatre représentations.
2o. Soit , et une autre forme quelconque de déterminant , en laquelle se change par la substitution , on conclura, comme dans le cas précédent, que et parconséquent ne peut être décomposé que d’une seule manière en trois quarrés, savoir, en , et en
on voit facilement que cette décomposition revient à vingt-quatre
représentations.
Il suit de là que les formes binaires de déterminant et
