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ARITHMÉTIQUES.

4^o. Soit $\mu$ le nombre des diviseurs premiers impairs de $M$ ; on déduit sans peine du n^o 233, que le nombre de toutes les valeurs différentes de l’expression ${\sqrt {-(p,-q,r)}}{\pmod {M}}$ est $2^{\mu }$, dont on ne doit considérer que la moitié (quand $M>2$) : ainsi le nombre de toutes les représentations propres de la forme $\varphi$ par $f$ sera $48.2^{\mu -1}=3.2^{\mu +1}$ ; mais le nombre des décompositions en trois quarrés n’est que $2^{\mu -1}$.

Exemple. Soit $\varphi =19t^{2}+6tu+41u^{2}$, et partant $M=770$ ; on a ici à considérer (n^o 283) les quatre valeurs suivantes et l’expression ${\sqrt {-19,-3,41)}}{\pmod {770}}$ :

$(39,237),\quad (171,-27),\quad (269,-83),\quad (291,-127).$

Pour trouver les représentations qui appartiennent à la valeur $(39,237)$, on détermine d’abord la forme ternaire ${\begin{array}{l}g={\begin{pmatrix}19,&41,&2\\3,&6,&3\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, en laquelle on trouve que $f$ se change, à l’aide des méthodes précédentes (n^os 272 et 275), par la substitution

$1$, $-6$, $-0$ ; ——$-3$, $-2$, $-1$ ; ——$-3$, $-1$, $-1,$

D’où résulte pour la représentation de $\varphi$ par $f$,

$x=t-6u,\quad y=-3t-2u,\quad z=-3t-u.$

Pour abréger, nous nous dispensons d’écrire les $47$ autres représentations qui naissent de celle-là par permutation et changement de signes. Mais ces $48$ représentations ne donnent qu’une seule décomposition en trois quarrés,

$t^{2}-12tu+36u^{2},\quad 9t^{2}+12tu+4u^{2},\quad 9t^{2}+6u+u^{2}$

Absolument de la même manière on tire :

de la valeur	———	la décomposition
$(171,-27)$		$(3t+5u)^{2}+(3t-4u)^{2}+t^{2}$
$(269,-83)$		$(t+6u)^{2}+(3t+u)^{2}+(3t-2u)^{2}$
$(291,-127)$		$(t+3u)^{2}+(3t+4u)^{2}+(3t-4u)^{2}$.

Chacune de ces décompositions répond à $48$ représentations. Mais ces $192$ représentations ou ces quatre décompositions sont les seules, parceque, $770$ n’étant divisible par aucun quarré, il ne peut y avoir de représentations impropres.

290. Nous ajouterons quelque chose de particulier à l’égard des

X x