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Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/377

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ARITHMÉTIQUES.

Pour démontrer la proposition inverse, qui constitue la seconde partie du théorème, nous commencerons par donner le moyen de trouver une forme équivalente à la forme et telle que les deuxième, troisième et quatrième coefficiens soient divisibles par , et de là nous déduirons la solution de l’équation (ω).

1o. On cherchera trois nombres entiers qui n’aient pas de diviseur commun, et tels que soit premier avec et avec et avec et tandis que sera divisible par ce qui se fait de la manière suivante : Soient respectivement des valeurs des expressions

, ——, ——


valeurs qui seront nécessairement premières avec respectivement. On prendra à volonté les trois nombres entiers pourvu qu’ils soient respectivement premiers avec (on peut, par exemple, les prendre tous égaux à ) Cela posé, on déterminera , , de manière qu’on ait

——et—— ,
——et—— ,
——et——  ;


on aura alors


c’est-à-dire que est divisible par on prouvera de la même manière, qu’il est divisible par et par et parconséquent par . On voit en outre que est premier avec et avec et avec et S’il arrivait que les valeurs de eussent un diviseur commun serait nécessairement premier avec et partant avec  ; donc en divisant ces valeurs par , on en obtiendra de nouvelles qui n’auront pas de diviseur commun, et qui satisferont à la condition de rendre divisible par et parconséquent à toutes les conditions.

2o. étant ainsi déterminés, n’auront pas non plus de commun diviseur ; en effet , étant premier avec et il s’ensuivrait que le plus grand commun diviseur supposé, que nous désignerons par serait premier avec on

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