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ARITHMÉTIQUES.

Pour démontrer la proposition inverse, qui constitue la seconde partie du théorème, nous commencerons par donner le moyen de trouver une forme équivalente à la forme ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}a,&b,&c\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ et telle que les deuxième, troisième et quatrième coefficiens soient divisibles par $abc$, et de là nous déduirons la solution de l’équation (ω).

1^o. On cherchera trois nombres entiers $A,$ $B,$ $C$ qui n’aient pas de diviseur commun, et tels que $A$ soit premier avec $b$ et $c,$ $B$ avec $a$ et $c,$ $C$ avec $a$ et $b,$ tandis que $aA^{2}+bB^{2}+cC^{2}$ sera divisible par $abc,$ ce qui se fait de la manière suivante : Soient $H,$ $K,$ $L$ respectivement des valeurs des expressions

${\sqrt {-bc}}{\pmod {a}}$, ——${\sqrt {-ac}}{\pmod {b}}$, ——${\sqrt {-ab}}{\pmod {c}},$

valeurs qui seront nécessairement premières avec $a,$ $b,$ $c$ respectivement. On prendra à volonté les trois nombres entiers $h,$ $k,$ $l,$ pourvu qu’ils soient respectivement premiers avec $a,$ $b,$ $c$ (on peut, par exemple, les prendre tous égaux à $1.$) Cela posé, on déterminera $A$, $B$, $C$ de manière qu’on ait

$A$	$\equiv kc{\pmod {b}}$	——et——	$\equiv lL\;\ {\pmod {c}}$,
$B$	$\equiv la{\pmod {c}}$	——et——	$\equiv hH{\pmod {a}}$,
$C$	$\equiv hb{\pmod {a}}$	——et——	$\equiv kK{\pmod {b}}$ ;

on aura alors

$aA^{2}+bB^{2}+cC^{2}\equiv h^{2}(bH^{2}+cb^{2})\equiv h^{2}(bH^{2}-bH^{2})\equiv 0{\pmod {a}},$

c’est-à-dire que $aA^{2}+bB^{2}+cC^{2}$ est divisible par $a\,;$ on prouvera de la même manière, qu’il est divisible par $b$ et par $c,$ et parconséquent par $abc$. On voit en outre que $A$ est premier avec $b$ et $c,$ $B$ avec $a$ et $c,$ $C$ avec $a$ et $b.$ S’il arrivait que les valeurs de $A,$ $B,$ $C$ eussent un diviseur commun $\mu ,$ $\mu$ serait nécessairement premier avec $a,$ $b,$ $c,$ et partant avec $abc$ ; donc en divisant ces valeurs par $\mu$, on en obtiendra de nouvelles qui n’auront pas de diviseur commun, et qui satisferont à la condition de rendre $aA^{2}+bB^{2}+cC^{2}$ divisible par $abc,$ et parconséquent à toutes les conditions.

2^o. $A,\,B,\,C$ étant ainsi déterminés, $Aa,\,Bb,\,Cc$ n’auront pas non plus de commun diviseur ; en effet $a$, étant premier avec $Bb$ et $Cc,$ il s’ensuivrait que le plus grand commun diviseur supposé, que nous désignerons par $\mu ,$ serait premier avec $a\,;$ on

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