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RECHERCHES
, , respectivement, et soit fait
, , seront entiers et premiers entre eux ; l’équation (ω') sera résoluble ou non, suivant que l’équation
le sera ou ne le sera pas, ce qui pourra se déterminer par le
no 294.
1o. Soit fait , , , , , sont
des entiers délivrés de facteurs quarrés, et l’on a ,
, ; donc, et partant
est nécessairement un nombre entier.
Soit le plus grand commun diviseur des nombres et ,
et , ; sera premier avec et avec , puisque est libre de tout facteur quarré. Or on a
donc divisera ce qui est impossible à moins que l’on
n’ait et partant donc est entier : on démontrera de même que et le sont.
2o. Puisque ne renferme pas de facteurs quarrés,
et sont nécessairement premiers entre eux. De même et ,
et sont premiers entre eux.
3o. Enfin il est évident que si l’on satisfait à l’équation (ω) en
faisant on satisfera à l’équation (ω')
en faisant et réciproquement si l’on
satisfait à l’équation (ω') en faisant , on satisfera à l’équation (ω) en faisant
Ainsi toutes deux sont résolubles, ou aucune ne l’est.
299. Problème. Étant proposée la forme ternaire
trouver si zéro peut être représenté par elle, en donnant aux indéterminées des valeurs qui ne soient pas toutes égales à zéro.
I. Quand , on peut prendre à volonté les valeurs de , , et il est clair que l’équation
donne toujours pour une valeur déterminée et rationnelle. Toutes