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Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/387

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ARITHMÉTIQUES.

les fois qu’il en résulte une fraction, il suffit de multiplier les valeurs de , , par le dénominateur de la fraction, et l’on obtient une solution entière. On doit seulement exclure les valeurs de , qui rendraient , à moins qu’elles ne rendissent aussi , auquel cas peut être pris arbitrairement. On voit en même temps que de cette manière on obtient toutes les solutions possibles. Au reste, le cas où sort de nos considérations ; car n’entre plus dans la forme, c’est-à-dire que est une forme binaire, et que l’on peut juger par la théorie des formes binaires si zéro est représentable par elle.

II. Mais quand n’est pas , l’équation revient à


en posant , , .

Or quand , et que l’on n’a pas , il est évident que si et sont pris arbitrairement, et obtiennent des valeurs rationnelles, et si elles ne sont pas entières, un multiplicateur convenable donnera des entiers. Il n’y a que lorsque l’on prend que n’est plus arbitraire ; il doit être aussi . La valeur de peut être prise arbitrairement et produira des valeurs rationnelles pour . Quand on a à-la-fois , , il est clair que dans le cas où est un quarré , l’équation est décomposable en deux équations linéaires (dont l’une ou l’autre doit avoir lieu),


mais si, dans la même hypothèse, n’est pas un quarré, il est évident que la solution de l’équation proposée dépend des équations qui doivent avoir lieu en même temps.

Au reste, il est à peine nécessaire d’observer que la méthode du paragraphe I s’appliquerait de même quand ou , et celle du paragraphe II, quand .

III. Mais quand on n’a ni , ni , l’équation peut se mettre sous la forme