des déterminans extrêmes et , ne diffère pas trop de l’égalité. La régularité de cette progression doit s’entendre ainsi : si est un nombre beaucoup plus grand que , le nombre moyen de genres pour le déterminant sera sensiblement plus grand que pour ; mais si et ne diffèrent pas beaucoup, les nombres moyens de genres sont presqu’égaux. Au reste, le nombre moyen de genres pour le déterminant positif , se trouve presque toujours égal au nombre moyen de genres pour le déterminant négatif, et cela d’autant plus exactement, que est plus grand ; tandis que pour de petits nombres, le premier se trouve un peu plus grand que le second. Ces observations s’éclairciront davantage par les exemples suivans, tirés d’une table de classification de formes binaires, qui contient plus de 4 000 déterminans. Parmi les cent déterminans compris de 801 à 900 , on en trouve auxquels ne correspond qu’un genre, , , , auxquels correspondent respectivement genres. Il en résulte en tout genres, et partant, pour le nombre moyen . Les cent déterminans négatifs depuis jusqu’à , produisent genres. Les exemples suivans sont tous pris des déterminans négatifs. Dans la seizième centaine, c’est-à-dire, depuis — jusqu’à , le nombre moyen de genres est ; dans la vingt-cinquième, il est ; les six cents déterminans compris de à donnent . Ces exemples font voir que les nombres moyens de genres croîtraient bien plus lentement que les déterminans ; mais il s’agirait maintenant de savoir quelle est la loi de cette progression.
Une recherche fondée sur une théorie assez difficile, et qu’il serait trop long d’exposer ici, nous a fait trouver que le nombre moyen des genres, pour le déterminant ou , était exprimé d’une manière extrêmement approchée par la formule : , où et sont des quantités constantes, et telles qu’on a, étant la demi-circonférence dont le rayon est 1,
| , | |||
| , |
étant la somme de la série
