Il est encore à remarquer que tous les déterminans dont les formes peuvent se distribuer en trente-deux genres au plus, ont au moins deux classes dans chaque genre, desorte que les classifications XXXII., LXIV. etc. n’existent point. Le plus petit déterminant de cette espèce est , et la classification qui lui répond est XXXII. ; et il est assez probable que, le nombre des genres augmentant continuellement, le nombre des classifications qui disparaissent augmente aussi. À cet égard, les soixante-cinq déterminans inscrits plus haut, auxquels répondent les classifications : I., II., IV., VIII., XVI., méritent d’être distingués, et il est facile de voir qu’ils jouissent tous et seuls de deux propriétés remarquables ; la première consiste en ce que les classes suivant lesquelles se distribuent leurs formes sont toutes ambiguës ; la seconde, en ce que deux formes quelconques contenues dans le même genre sont équivalentes, tant proprement qu’improprement. Au reste, ces mêmes soixante-cinq nombres ont déjà été présentés par Euler (Nouv. Mém. de l’Ac. de Berlin, 1776, p. 338), sous un aspect un peu différent, dont nous parlerons plus bas, et avec une propriété facile à démontrer.
304. Le nombre des classes proprement primitives que fournissent les formes binaires de déterminant quarré , peut être assigné a priori ; il y a autant de ces classes que de nombres premiers avec et plus petits que lui. De là, à l’aide de raisonnemens qui n’ont aucune difficulté, mais que nous supprimons, on trouve que le nombre moyen des classes qui appartiennent à des déterminans quarrés voisins de est exprimé d’une manière très-approchée par .
Quant aux déterminans positifs non-quarrés, ils présentent à cet égard des propriétés tout-à-fait singulières. Pour les déterminans négatifs ou quarrés, les petits nombres de classes, par exemple les classifications I., ou I., ou II., n’ont lieu que pour de petits déterminans et dont la suite s’arrête bientôt ; pour les déterminans positifs non-quarrés au contraire, pourvu qu’ils ne soient pas très-grands, la plus grande partie donne des classifications où il n’y a qu’une seule classe dans chaque genre, desorte que les classifications : I., I., II. II. IV. etc.
