et désignant les plus petits nombres, excepté et , qui satisfont à l’équation , nous ne pouvons donner plus de détails sur la raison de cette analogie. La valeur moyenne de ce produit s’exprime assez exactement par la formule ; mais nous n’avons pas encore pu déterminer par la théorie les constantes et . S’il est permis de tirer une conclusion de la comparaison de quelques centaines de déterminans, paraît peu différent de .
Au reste, nous nous réservons de revenir dans une autre occasion sur les valeurs moyennes des quantités qui ne suivent pas une loi analytique, mais qui approchent continuellement et de plus en plus de la suivre. Nous passons maintenant à une autre recherche, par laquelle nous comparerons entre elles les différentes classes proprement primitives de même déterminant, et qui terminera cette longue Section.
305. Théorème. désignant la classe principale des formes de déterminant donné une autre classe quelconque prise dans le genre principal de même déterminant, etc. les classes qui naissent de la duplication, de la triplication, etc. de la classe (Voyez no 249) ; en continuant assez loin la progression etc., on parviendra enfin à une classe identique avec et si l’on suppose que soit la première classe identique avec et que le nombre de toutes les classes du genre principal soit on aura ou bien sera une partie aliquote de .
I. Comme toutes les classes , , , , etc. appartiennent nécessairement au genre principal, les premières classes de cette série , , ,… ne peuvent pas être différentes ; ainsi sera donc identique avec une des classes , , …, ou deux d’entre elles seront identiques. Soit donc et , on aura aussi , , etc., et , d’où .
II. Il suit de là sur-le-champ que l’on a , ou ; ainsi il ne reste plus qu’à faire voir que, dans le second cas, est une partie aliquote de . Comme les classes , , … , dont nous désignerons l’ensemble par (Γ), n’épuisent pas le genre
