principal, soit une classe de ce genre qui ne soit pas contenue dans (Γ), et désignons par (Γ’) l’ensemble de toutes les classes qui résultent de la composition de avec chacune des classes de (Γ). On voit facilement que toutes les classes de (Γ) sont différentes tant entre elles que des classes contenues dans (Γ), et qu’elles sont du genre principal ; desorte que si (Γ) et (Γ’) épuisent ce genre, on aura , sinon on aura . Soit donc, dans le second cas, une classe du genre principal qui ne soit contenue ni dans (Γ), ni dans (Γ'), et désignons par (Γ) l’ensemble de toutes les classes qui résultent de la décomposition de avec toutes les classes de (Γ) ; il est évident qu’elles diffèrent toutes entre elles et des classes contenues dans (Γ) et (Γ’), et qu’elles sont du genre principal ; donc si (Γ), (Γ’) , (Γ'') épuisent ce genre, on aura , sinon . Dans ce dernier cas, en traitant de la même manière une classe qui ne soit contenue ni dans (Γ), ni dans (Γ’), ni dans il en résultera que l’on a , ou , et ainsi de suite. Or comme et sont des nombres finis, le genre principal s’épuisera enfin, et sera un multiple de , ou une partie aliquote de n.
Soit, par exemple, , [1] ; on trouve , , , , . On a donc ici , et pour ce déterminant . En prenant , les cinq autres classes de (Γ’) sont : , , , , .
306. On remarquera sur-le-champ l’analogie de la démonstration du théorème précédent, avec les démonstrations des nos 45, 49 ; et effectivement, la théorie de la multiplication des classes a une grande affinité avec le sujet traité dans la Section III. Mais les limites de cet ouvrage ne nous permettent pas de poursuivre cette théorie qui est digne de grands développemens ; aussi nous n’ajouterons que quelques observations, et nous supprimerons les démonstrations qui exigeraient trop de détails, nous réservant encore de revenir sur ce sujet et de l’approfondir.
- ↑ Nous exprimons toujours les classes par les formes les plus simples qu’elles renferment.
