Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/403

381

ARITHMÉTIQUES.

d’autant plus que parmi les derniers se trouvent en même temps des nombres premiers et des nombres composés ; ainsi il suffira d’ajouter ici quelques observations particulières. Quand il y a plus de deux classes ambiguës dans le genre principal, le déterminant est sûrement irrégulier, et l’exposant d’irrégularité est pair. Mais quand il n’y a qu’une ou deux classes ambiguës, le déterminant est régulier, ou du moins l’exposant d’irrégularité est impair. Tous les déterminans négatifs de la forme $-(216k+27)$, le nombre $-27$ excepté, sont irréguliers, et l’exposant d’irrégularité est divisible par $3$. La même chose a lieu pour les déterminans négatifs de la forme $-(1000k+75)$ et $-(1000k+675)$ en exceptant le seul nombre $-75$, et pour une infinité d’autres.

Si l’exposant d’irrégularité est un nombre premier $p$, $n$ est divisible par $p^{2}$ ; desorte que si $n$ n’est divisible par aucun nombre quarré, le déterminant sera nécessairement régulier.

Il n’y a que pour les déterminans positifs quarrés $e^{2}$ que l’on puisse distinguer a priori, s’ils sont réguliers ou irréguliers. Le premier cas arrive quand $e$ est $1$ ou $2$, ou un nombre premier impair, ou une puissance d’un nombre premier impair ; le second pour toute autre valeur de $e$.

Pour les déterminans négatifs, les irréguliers deviennent d’autant plus fréquens, que les déterminans seront plus grands. Par exemple, dans le premier millier, on trouve $13$ irréguliers qui sont, en omettant le signe,

$576,380,820,884,900$, dont l’exposant d’irrégularité est $2$.

$243,307,339,459,675,755,891,974$, dont l’exposant est $3$.

Dans le second millier, on en trouve $13$ dont l’exposant est $2$, et $15$ dont l’exposant est $3$. Dans le dixième millier, $31$ dont l’exposant est $2$, et $32$ dont l’exposant est $5$. Nous ne pouvons encore décider s’il existe au-dessous de $-10000$ des déterminans dont l’exposant d’irrégularité soit plus grand que $3$. Au-delà de cette limite, on peut trouver des déterminans qui aient un exposant donné quelconque. Il est probable que les déterminans croissant toujours, le nombre de ceux qui sont irréguliers tend à être dans un rapport constant avec le nombre des déterminans réguliers. La détermination de ce rapport serait digne de la sagacité des géomètres.