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RECHERCHES

Parmi les déterminans positifs non quarrés, les irréguliers sont plus rares; il y en a une infinité pour lesquels l’exposant est 2, par exemple $3026$ a $2$ pour exposant d’irrégularité. Il semble aussi hors de doute qu’il existe des déterminans dont l’exposant d’irrégularité soit impair, quoique nous soyons forcés d’avouer qu’il ne s’en est pas offert à nous jusqu’à présent.

9^o. Nous ne pouvons, sans donner trop d’étendue à cet ouvrage, parler ici de la disposition la plus commode du système des classes contenues dans le genre principal pour un déterminant irrégulier ; nous observerons seulement que comme dans ce cas une base ne peut suffire, il faut en prendre deux ou un plus grand nombre qui, par la multiplication et la composition, puissent produire toutes les classes. De là naîtront des indices doubles ou multiples qui auront presque le même usage que les indices simples pour les déterminans réguliers.

1^o. Observons enfin que toutes les propriétés considérées dans ce n^o  et dans le précédent, dépendant principalement du nombre $n$, qui a quelque analogie avec le nombre $p-1$ de la section III, ce nombre mérite une grande attention ; il serait donc à desirer que l’on pût découvrir une relation générale entre $n$ et le déterminant. Nous pensons que l’on doit d’autant moins désespérer d’y parvenir, que nous avons déjà réussi à soumettre à une formule analytique, du moins pour les déterminans négatifs (n^o 302), la valeur moyenne du produit de n par le nombre de genres qui peut être assignée a priori^[1].

307. Les recherches précédentes n’embrassent que les classes du genre principal, et suffisent parconséquent, tant pour les déterminans positifs qui ne donnent qu’un seul genre, que pour les déterminans qui ne donnent qu’un genre positif, si nous ne considérons pas le genre négatif. Il nous reste à ajouter quelque chose sur les autres genres proprement primitifs.

1^o. Lorsque le genre $G'$ différant du genre principal $G$ de même déterminant, renferme quelque classe ambiguë, il y en aura autant dans l’un et l’autre genre. Soient $L$, $M$, $N$, etc. les classes

1. Voyez les Additions de l’auteur.