Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/406

384

RECHERCHES

sont tous différens entre eux, et que, pris ensemble, ils équivalent à $g$ et à $h$ Mais par ce qui vient d’être démontré, les genres $G.H$, $G'.H$, $G''.H$, etc. appartiennent tous à $h$, et partant, l’épuisent entièrement ; donc les genres $H.H$, $H'.H$, $H''.H$, etc. appartiennent nécessairement à $g$, et partant, la composition de deux genres de $h$ donne toujours un genre de $g$.

4^o. Si $E$ est une classe du genre $V$ différent du genre principal $G$, il est clair que $E^{2}$, $E^{4}$, $E^{6}$, etc. appartiennent toutes à $G$, tandis que $E^{3}$, $E^{5}$, $E^{7}$, etc. appartiennent à $V$. Si donc la période de la classe $E^{2}$ est composée de $m$ termes, il est évident que dans la suite $E$, $E^{2}$, $E^{3}$, etc. , la classe $E^{2m}$ sera indentique avec $K$, et qu’aucune ne pourra l’être avant elle, c’est-à-dire, que la période de la classe $E$ sera composée de $2m$ termes ; donc le nombre de termes de la période d’une classe quelconque, d’un autre genre que le genre principal, sera $2n$ ou une partie aliquote de $2n$, $n$ désignant le nombre de classes commun à tous les genres.

5^o. Soit $C$ une classe donnée du genre principal $G$, $E$ une classe du genre $V$ qui donne $C$ par sa duplication (n^o 286), et $K$, $K'$, $K''$, etc., toutes les classes ambiguës proprement primitives de même déterminant ; toutes les classes dont la duplication donne $C$ seront : $E(=E.K)$, $E.K'$, $E.K''$, etc., dont nous exprimerons l’ensemble par $\omega$, et dont le nombre sera évidemment égal au nombre des classes ambiguës, ou au nombre des genres. Il est manifeste que parmi les classes $\omega$, il y en a autant qui appartiennent au genre $V,$ qu’il y a de classes ambiguës dans le genre $G$ ; ainsi, désignant par a le nombre de ces dernières, il y a dans chaque genre $a$ classes comprises dans $\omega \,;$ ou il n’y en a aucune. On déduit facilement de là, que si $a=1$, chaque genre contient une des classes $\omega$ ; si $a=2$, la moitié des genres contiennent deux des classes $\omega$, tandis que les autres n’en contiennent aucune, et même la première moitié coïncide avec $g$ (v. 3^o.), et la seconde avec $h$ et réciproquement. Quand $a$ est plus grand il y a toujours, en désignant par $N$ le nombre de tous les genres, ${\frac {N}{a}}$ genres qui contiennent des classes $\omega ,$ et chacune en contient $a$.

6^o. Supposons maintenant que $C$ soit une classe dont la période soit composée de $n$ termes ; on voit facilement que dans le cas où

$a=2,$