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ARITHMÉTIQUES.

315. Ainsi, dès que l’on connaît la période d’une fraction, on peut obtenir la mantisse avec autant de figures qu’on voudra ; d’ailleurs il est clair que si l’on a $b\equiv 10^{\lambda }a{\pmod {p^{\mu }}}$, on obtient la période de la fraction ${\frac {b}{p^{\mu }}}$, si (en supposant, comme il est toujours permis, que $\lambda <e$) on écrit les $\lambda$ premiers chiffres de la période de la fraction $F$ après les $e-\lambda$ qui restent, et parconséquent lorsqu’on a la période de la fraction $F$, on a en même temps celles de toutes les fractions dont les numérateurs sont congrus aux nombres $10a$, $100a$, $1000a$, etc., suivant le module $p^{\mu }$. Ainsi, par exemple, comme $6\equiv 3.10^{2}{\pmod {7}}$, la période de la fraction ${\frac {6}{7}}$ se trouve au moyen de la période de la fraction ${\frac {3}{7}}$ ; elle est $857142$.

Donc toutes les fois que, pour le module $p^{\mu }$, le nombre $10$ est une racine primitive (n^os 57 et 89), on peut, de la période de la fraction ${\frac {1}{p^{\mu }}}$, déduire sur-le-champ la période de toute autre fraction ${\frac {m}{p^{\mu }}}$, $m$ n’étant pas divisible par $p$, en retranchant à gauche pour écrire à droite, autant de chiffres qu’il y a d’unités dans l’indice du nombre $m$, $10$ étant pris pour base. On voit par là pourquoi, dans la Table I, nous avons toujours pris $10$ pour base, quand la chose était possible.

Mais quand $10$ n’est pas racine primitive, on ne peut tirer de la période de la fraction ${\frac {1}{p^{\mu }}}$ que celles des fractions dont les dénominateurs sont congrus, suivant $p^{\mu }$, à quelque puissance de $10$. Soit $10^{e}$ la plus petite puissance de $10$ congrue à l’unité, suivant le module $p^{\mu }$, faisons $(p-1)p^{\mu -1}=ef$ et prenons (n^o 71) pour base une racine primitive $r$ telle que $f$ soit l’indice du nombre $10$. Dans ce système, les numérateurs des fractions dont les périodes peuvent se tirer de la période de la fraction ${\frac {1}{p^{\mu }}}$, auront pour indices

$f,\,2f,\,3f\,\dots {\text{etc.}},\,(e-1)f.$

D d d