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RECHERCHES

De la même manière, on peut déduire de la période de la fraction ${\frac {r}{p^{\mu }}}$, celles des fractions dont les numérateurs répondent aux indices

$f+1,\;2f+1,\;3f+1,\;{\text{etc.}}$

De la période de la fraction dont le numérateur est $r^{2}$ (l’indice en est $2$), on déduira celles des fractions dont les numérateurs ont pour indices

$f+2,\;2f+2,\;3f+2,\;{\text{etc.}}$

Et généralement, de la période de la fraction dont le numérateur est $r^{i}$, on déduira celles des fractions dont les numérateurs ont pour indices

$f+i,\;2f+i,\;3f+i,\;{\text{etc.}}$

On conclura facilement de là que si l’on connaît seulement les périodes des fractions qui ont pour numérateurs

$1,\;r,\;r^{2},\;r^{3},\;\dots r^{f-1},$

on peut tirer toutes les autres par la seule transposition, à l’aide de la règle suivante : Soit $i$ l’indice du numérateur $m$ de la fraction proposée ${\frac {m}{p^{\mu }}}$, dans le système où $r$ est pris pour base, nous supposons $i<(p-1)p^{\mu -1}$ ; on fera, en divisant par $f$, $i=\alpha f+\beta$, de manière que $\alpha$, $\beta$ soient des entiers positifs, ou même $=0$, et qu’on ait $\beta <f$. Cela posé, la période de la fraction ${\frac {m}{p^{\mu }}}$ naîtra de celle de la fraction dont le numérateur est $r^{\beta }$ (et partant $1$, quand $\beta =0$) en plaçant les $\alpha$ premiers chiffres après les autres (et conservant parconséquent cette période elle-même, quand $\alpha =0$). Ce qui précède suffit pour faire voir pourquoi, en formant la Table I, nous avons suivi la règle exposée n^o 72.

316. Nous avons construit, d’après ces principes, pour tous les dénominateurs de la forme $p^{\mu }$ au-dessous de $1000$, une Table des périodes nécessaires, que nous donnerons en entier, et même continuée plus loin à la première occasion qui se présentera. Nous