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Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/416

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RECHERCHES


De la même manière, on peut déduire de la période de la fraction , celles des fractions dont les numérateurs répondent aux indices


De la période de la fraction dont le numérateur est (l’indice en est ), on déduira celles des fractions dont les numérateurs ont pour indices


Et généralement, de la période de la fraction dont le numérateur est , on déduira celles des fractions dont les numérateurs ont pour indices


On conclura facilement de là que si l’on connaît seulement les périodes des fractions qui ont pour numérateurs


on peut tirer toutes les autres par la seule transposition, à l’aide de la règle suivante : Soit l’indice du numérateur de la fraction proposée , dans le système où est pris pour base, nous supposons  ; on fera, en divisant par , , de manière que , soient des entiers positifs, ou même , et qu’on ait . Cela posé, la période de la fraction naîtra de celle de la fraction dont le numérateur est (et partant , quand ) en plaçant les premiers chiffres après les autres (et conservant parconséquent cette période elle-même, quand ). Ce qui précède suffit pour faire voir pourquoi, en formant la Table I, nous avons suivi la règle exposée no 72.

316. Nous avons construit, d’après ces principes, pour tous les dénominateurs de la forme au-dessous de , une Table des périodes nécessaires, que nous donnerons en entier, et même continuée plus loin à la première occasion qui se présentera. Nous