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RECHERCHES

On déterminera les nombres $\xi ,\,\xi ',\,\xi '',\,{\text{etc.}}$ de manière qu’on ait :

$b\xi +b'\xi '+b'\xi ''+\,{\text{etc.}}=0,\qquad c\xi +c'\xi '+b''\xi ''+\,{\text{etc.}}=0,\,{\text{etc.}}$

et que ces nombres soient entiers et n’aient aucun diviseur commun à tous, ce qui est toujours possible par la théorie des équations linéaires.

On déterminera de même $\nu ,\,\nu ',\,\nu '',\,{\text{etc.}},\,\zeta ,\,\zeta ',\,\zeta '',\,{\text{etc.}},\,{\text{etc.}},$ de manière qu’on ait

$a\nu +a'\nu '+a''\nu ''$	$+\,{\text{etc.}}=0\qquad$	$c\nu +c'\nu '+c''\nu ''$	$+\,{\text{etc.}}=0,\,{\text{etc.}}$
$a\zeta +a'\zeta '+a''\zeta ''$	$+\,{\text{etc.}}=0\qquad$	$b\zeta +b'\zeta '+b''\zeta ''$	$+\,{\text{etc.}}=0,\,{\text{etc.}}$
etc.

3^o. Il est évident que si l’on multiplie les congruences $A$, $A'$, $A''$, etc., d’abord par $\xi$, $\xi '$, $\xi ''$, etc. ensuite par $\nu$, $\nu '$, $\nu '',\,{\text{etc.}}\,{\text{etc.}}$, etc. etc., et qu’on les ajoute, on obtiendra les congruences suivantes :

$(a\xi +a'\xi '+a''\xi ''\ +\,{\text{etc.}})$	$x$	$\equiv$	$f\xi +f'\xi '+f''\xi ''$	$+\,{\text{etc.}}$
$(b\nu +b'\nu '+b''\nu '\ +\,{\text{etc.}})$	$y$	$\equiv$	$f\nu +f'\nu '+f''\nu ''$	$+\,{\text{etc.}}$
$(c\zeta +c'\zeta '+b''\zeta ''\ +\,{\text{etc.}})$	$z$	$\equiv$	$f\zeta +f'\zeta '+f''\zeta ''$	$+\,{\text{etc.}}$
etc.

que, pour abréger, nous représenterons ainsi :

$x.\sum (a\xi )\equiv \sum (f\xi ),\quad y.\sum (b\nu )\equiv \sum (f\nu ),\quad z.\sum (c\zeta )\equiv \sum (f\zeta ),\,{\text{etc.}}$

4^o. Il y a plusieurs cas à distinguer en premier lieu quand les coefficiens des inconnues, c’est-à-dire quand $\sum (a\xi )$, $\sum (b\nu ),\,{\text{etc.}}$ sont premiers avec le module des congruences, ces congruences peuvent être résolues par les méthodes déjà exposées, et la solution complète du problème s’obtient par des congruences de cette forme $x\equiv p{\pmod {m}}$, $y\equiv q{\pmod {m}}$, etc.^[1]. Si l’on propose, par

1. Il faut observer que cette conclusion manque de démonstration que nous supprimons ici ; car il ne suit rigoureusement rien autre chose de notre analyse, si ce n’est que les congruences proposées ne peuvent être résolues par d’autres valeurs de $x$, $y$, $z,\,{\text{etc.}}$ mais non pas que celles-ci satisfassent ; il serait même possible qu’il n’y eût aucune solution. Le même paralogisme se présente dans la solution des équations linéaires.