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ARITHMÉTIQUES

exemple, les congruences

$x+3y+z\equiv 1,\quad 4x+y+5z\equiv 7,\quad 2x+2y+z\equiv 3{\pmod {8}},$

on trouvera $\xi =9,\,\xi '=1,\,\xi ''=-14\,;$ donc

$\sum \left(a\xi \right)=-15,\qquad \sum \left(f\xi \right)=-26\,;$

donc $-15x\equiv -26,$ et partant $x\equiv -2,{\pmod {8}}$. De la même manière on trouvera $15y\equiv -4,\,15z\equiv 1$, et de là, $y\equiv 4,\,z\equiv 7{\pmod {8}}.$

5^o . Si tous les coefficiens $\textstyle \sum \left(a\xi \right),\,\sum \left(b\nu \right),\,{\text{etc.}}$ ne sont pas premiers avec le module, soient $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,{\text{etc.}}$ les plus grands diviseurs communs de $m$ et de $\textstyle \sum \left(a\xi \right)$, $\textstyle \sum \left(b\nu \right)$, $\textstyle \sum \left(c\zeta \right),\,{\text{etc.}}$ respectivement ; et il est évident que le problème est impossible, si $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,{\text{etc.}}$ ne divisent aussi $\textstyle \sum \left(f\xi \right),\,\sum \left(f\nu \right),\,\sum \left(f\zeta \right),\,{\text{etc.}}$ respectivement ; mais quand ces conditions auront lieu, le problème sera résolu complètement par des congruences telles que

$x\equiv p{\pmod {\frac {m}{\alpha }}},\quad y\equiv q{\pmod {\frac {m}{\beta }}},\quad z\equiv r{\pmod {\frac {m}{\gamma }}},\quad {\text{etc.}}$

ou si l’on aime mieux, on aura $\alpha$ valeurs différentes pour $x,$ savoir : $p,\ p+{\frac {m}{\alpha }},\dots \ p+{\frac {(\alpha -1)m}{\alpha }},\beta$ valeurs pour $y,$ $\gamma$ valeurs pour $z,\,{\text{etc.}}$ qui satisferont aux congruences. Toutes les solutions de la question, s’il y en a quelques-unes, devront se trouver parmi celles que nous venons d’indiquer ; mais il n’est pas permis de renverser la conclusion ; car souvent toutes les combinaisons des $\alpha$ valeurs de $x,$ avec celles de $y$ et celles de $z,$ etc. ne satisfont pas au problème, mais seulement quelques-unes dont la liaison s’exprime au moyen d’une ou de plusieurs équations de condition. Au reste comme la solution complète de ce problème n’est pas nécessaire pour la suite, nous ne nous étendrons pas davantage ici sur ce sujet, et nous nous contenterons d’en donner une idée par un exemple.

Soient proposées les congruences

$3x+5y+z\equiv 4,\quad 2x+3y+2z\equiv 7,\quad 5x+y+3z\equiv 6{\pmod {12}},$

on aura ici

$\xi$	$=$	$1,$	$\qquad \xi '$	$=$	$-2,$	$\qquad \xi ''$	$=$	$1\,;$
$\nu$	$=$	$1,$	$\qquad \nu '$	$=$	$1,$	$\qquad \nu ''$	$=$	$-1\,;$
$\zeta$	$=$	$-13,$	$\qquad \zeta '$	$=$	$22,$	$\qquad \zeta ''$	$=$	$-1\,;$

d’où $4x\equiv -4,\,7y\equiv 5,\,28z\equiv 96\,;$ d’où l’on tire quatre valeurs de $x,$ savoir, $x\equiv 2,\,5,\,8,\,11\,;$ une seule de $y,\,y\equiv 11\,;$ quatre de $z,$ savoir, $z\equiv 0,\,3,\,6,\,9{\pmod {12}}$. Or pour découvrir quelles combinaisons des valeurs de $x$ et de $z$ on peut admettre, substituons à la place de $x,\,y,\,z,\,2+3t,\,11,\,3u,$ ce qui change les congruences proposées en $57+9t+3u\equiv 0,\,30+6t+6u\equiv 0$ et $15+15t+9u\equiv 0{\pmod {12}}$,