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RECHERCHES

Mais si le dénominateur est de la forme $2^{\alpha }5^{\beta }N$, $N$ étant un nombre premier avec $10$, ${\alpha }$ et ${\beta }$ des nombres qui ne peuvent être zéro à-la-fois, la mantisse deviendra périodique après les ${\alpha }$ ou ${\beta }$ premiers chiffres, suivant que ${\alpha }$ ou ${\beta }$ est le plus grand ; ces périodes seront composées d’autant de chiffres que celles des fractions dont le dénominateur est $N$. Ceci se déduit facilement de ce que la fraction proposée peut se décomposer en deux autres dont les dénominateurs soient $2^{\alpha }5^{\beta }$ et N, et dont la première sera interrompue après les ${\alpha }$ ou ${\beta }$ premiers chiffres.

Au reste, nous pourrions ajouter encore beaucoup d’autres observations sur ce sujet, surtout à l’égard des artifices au moyen desquels on peut construire avec une grande facilité la Table III ; mais, forcés d’abréger, nous les omettons d’autant plus volontiers qu’une grande partie a été publiée tant par Robertson que par Bernoulli (Nouv. Mém. de l’Acad. de Berlin, 1771).

319. Nous avons traité (n^o 146) de la possibilité de la congruence $x^{2}\equiv A{\pmod {m}}$, qui revient à l’équation indéterminée $x^{2}=A+my$, de manière à ce qu’il semble qu’on ait rien à desirer ; mais pour la recherche de l’inconnue elle-même, nous avons déjà observé (n^o 151) que les méthodes indirectes étaient de beaucoup préférables aux méthodes directes. Si $m$ est un nombre premier, cas auquel les autres se ramènent facilement, la Table des indices I, combinée avec la Table III, suivant l’observation du n^o 316, peut être employée à cette fin, comme nous l’avons fait voir plus généralement (n^o 60) ; mais cette méthode ne s’étendrait qu’aux nombres compris dans les Tables ; c’est pourquoi nous espérons que la méthode suivante, par sa généralité et sa brièveté, ne déplaira pas aux amateurs de l’Arithmétique.

Observons avant tout qu’il suffit de connaître les valeurs de $x$ qui sont positives et non plus grandes que ${\frac {m}{2}}$, puisque toute autre valeur sera congrue à l’une de celles-là, prise positivement ou négativement. Or, pour une telle valeur de $x$, celle de $y$ est nécessairement contenue entre les limites $-{\frac {A}{m}}$ et ${\frac {1}{4}}m-{\frac {A}{m}}$. Ainsi une méthode qui s’offre d’elle-même, consisterait à calculer la va-