leur de …, pour toutes les valeurs de comprises entre ces limites, et dont nous désignerons l’ensemble par , en ne retenant que celles qui rendraient un quarré. Quand est petit, le nombre des essais est si peu considérable qu’il n’est presque pas nécessaire de chercher à l’abréger ; mais quand est grand, on peut diminuer le travail autant qu’on voudra, par la méthode d’exclusion suivante.
320. Soit un nombre entier arbitraire et plus grand que soient aussi etc. tous ses non-résidus quadratiques différents, c’est-à-dire, incongrus suivant ; enfin etc. les racines des congruences
que l’on peut prendre toutes positives et plus petites que ; si
l’on donne à une valeur congrue, suivant le module , à l’un
des nombres , , , etc., la valeur de qui en
résultera sera congrue à l’un des nombres , , , etc., et sera
parconséquent non-résidu de ; partant elle ne pourra être un
quarré. Par là, on peut donc rejeter sur-le-champ, de , tous
les nombres inutiles qui sont contenus sous les formes
et il suffira d’essayer les autres, dont nous représenterons l’ensemble par . Dans cette opération, nous pouvons donner au
nombre le nom d’excluant.
En prenant pour excluant un autre .nombre convenable , on trouvera de la même manière autant de nombres , , , etc. qu’il y a de non-résidus différens, et auxquels ne peut être congru suivant le module . On peut donc encore rejeter de tous les nombres compris sous les formes
On peut continuer de cette manière les exclusions, jusqu’à ce que
le nombre des valeurs soit tellement diminué, qu’il ne paraisse
pas plus difficile d’essayer directement celles qui restent, que
d’entreprendre de nouvelles exclusions.
Exemple. Soit proposée l’équation ; les limites des valeurs de sont et ; donc, comme la valeur
