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RECHERCHES
La limite des valeurs de
tombe ici entre
et
; la valeur de l’expression
est
, et les valeurs de
sont
et
; donc
contient tous les nombres des formes
et
, c’est-à-dire tous les nombres non-divisibles par
,
jusqu’à
exclusivement ; il y en a cent trois. En appliquant
les règles données précédemment, on trouve que
pour les excluans |
—— |
on doit rejeter les nombres de la forme
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![{\displaystyle 3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/991e33c6e207b12546f15bdfee8b5726eafbbb2f) |
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![{\displaystyle 4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/295b4bf1de7cd3500e740e0f4f0635db22d87b42) |
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, c’est-à-dire les nombres pairs,
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![{\displaystyle 9}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32d3d1e1f9dfe0254c628379e69a69711fe4eabd) |
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![{\displaystyle 11}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da6aabe7c6af49fe640b2d401cb2dbe909bb7475) |
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![{\displaystyle 17}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c64120a0494859d76d7b9621af60dab553bd82dc) |
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![{\displaystyle 19}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d12e89044b8eb4a6034d16a39e9c9d0b5c2518ba) |
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![{\displaystyle 23}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e140641068b3a0763290941fb20531be45227748) |
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Après avoir effacé ces différens nombres, il reste
,
,
,
dont les deux premiers seuls rendent
un quarré, et donnent les
mêmes solutions que la première méthode.
326. La méthode précédente est déjà si expéditive en elle-même, qu’elle laisse à peine quelque chose à desirer ; cependant
elle peut encore être beaucoup abrégée par un grand nombre
d’artifices, sur lesquels nous ne pouvons nous arrêter que légèrement. Ainsi nous réduirons nos recherches au cas où l’excluant
est un nombre premier impair qui ne divise pas
, ou une
puissance d’un tel nombre, d’autant plus que les autres cas
peuvent se ramener à celui-ci, ou être traités d’une manière
analogue.
Supposons d’abord que l’excluant
soit un nombre premier
qui ne divise ni
ni
, et représentons par
,
,
,
, etc.
les valeurs des expressions
![{\displaystyle {\frac {A}{m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ad3c9a5c233d2c8a142467092c8a8f8623857c2)
,
——![{\displaystyle -{\frac {na}{m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9caa6144bd1d141858de677fcec65ed94d30ea72)
,
——![{\displaystyle -{\frac {nb}{m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15880e6e896e9d4ad4e264722d44a736eb55929f)
,
——![{\displaystyle -{\frac {nc}{m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76013f83196761616949dc05cbabff2303ecbd0f)
,
——etc.
——![{\displaystyle {\pmod {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d677018927f754741861d735a32820edc46c5a60)
;
respectivement : les nombres
,
,
, etc. se trouveront par
les congruences
![{\displaystyle \alpha \equiv k+M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ce2e3afdd8ba6e2584044ac87634262169cf776)
,
——![{\displaystyle \beta \equiv k+N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a57010d5d29e75bcb8e6546a60f61880de2b4fb9)
,
——![{\displaystyle \gamma \equiv k+P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e08af9baee7ba24361922def316f0d5508ec9166)
,
![{\displaystyle {\pmod {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d677018927f754741861d735a32820edc46c5a60)
.
Or