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RECHERCHES

La limite des valeurs de tombe ici entre et  ; la valeur de l’expression est , et les valeurs de sont et  ; donc contient tous les nombres des formes et , c’est-à-dire tous les nombres non-divisibles par , jusqu’à exclusivement ; il y en a cent trois. En appliquant les règles données précédemment, on trouve que

pour les excluans —— on doit rejeter les nombres de la forme
, c’est-à-dire les nombres pairs,


Après avoir effacé ces différens nombres, il reste , , , dont les deux premiers seuls rendent un quarré, et donnent les mêmes solutions que la première méthode.

326. La méthode précédente est déjà si expéditive en elle-même, qu’elle laisse à peine quelque chose à desirer ; cependant elle peut encore être beaucoup abrégée par un grand nombre d’artifices, sur lesquels nous ne pouvons nous arrêter que légèrement. Ainsi nous réduirons nos recherches au cas où l’excluant est un nombre premier impair qui ne divise pas , ou une puissance d’un tel nombre, d’autant plus que les autres cas peuvent se ramener à celui-ci, ou être traités d’une manière analogue.

Supposons d’abord que l’excluant soit un nombre premier qui ne divise ni ni , et représentons par , , , , etc. les valeurs des expressions

,——, ——, ——, ——etc.—— ;


respectivement : les nombres , , , etc. se trouveront par les congruences

,——, ——, .
Or