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Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/429

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ARITHMÉTIQUES.

sont et , qui sont toutes deux résidus de  ; les valeurs des expressions et sont et  ; ainsi rejetant les nombres des formes , , ceux qui restent sont au nombre de dix :

…(ω'')


Pour , les racines des congruences

,,


sont qui sont toutes résidus de  ; les valeurs des expressions sont  ; en rejetant de les nombres de la forme

,——, ——


il reste les cinq suivans :

…………(ω''')


Pour , on a , d’où qui est non-résidu de  ; ainsi l’excluant ne peut être employé. Le nombre doit être passé, par la même raison que le nombre .

Pour , les nombres , , etc. sont , , , , , et  ; donc les nombres , , etc. sont , , , , , parmi lesquels , et sont seuls résidus de  ; de là on conclut que l’on doit rejeter de ωα les nombres de la forme

,——, ——


Il reste , ,  ; en essayant ces nombres, ils donnent pour les valeurs

,——, ——


dont le second et le troisième seuls sont des quarrés. Donc l’équation proposée admet deux solutions par des valeurs positives de , .

,—— ; ——,——

2o. Si l’on veut chercher par exclusion l’autre inconnue de cette équation, on la mettra sous la forme


en échangeant et afin de conserver la notation des nos 323, 324.