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RECHERCHES

puisque $A$ ne l’est pas ; en outre il est clair que $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , etc. sont congrus à $k$ suivant le module $p$ , et que partant $p^{\mu }$ n’exclut aucun des nombres $\omega$ , si $kNp\ ;$ mais si $kRp$ et partant $kRp^{\mu +\nu }$ , soit $\alpha$ la valeur de l’expression ${\sqrt {k}}{\pmod {p^{\mu +\nu }}}$ , qui ne sera pas divisible par $p$ , et $e$ la valeur de l’expression $-{\frac {n'}{2mr}}{\pmod {p}}$ on aura $\alpha \equiv r^{2}+2erap^{\nu }{\pmod {p^{\mu +\nu }}}$ , d’où l’on conclut facilement que $\alpha$ est résidu de $p^{\mu +\nu }$ , et que les valeurs de l’expression ${\sqrt {\alpha }}{\pmod {p^{\mu +\nu }}}$ sont $\pm (r+eap^{\nu })$ ; donc tous les nombres $h,$ $h',$ $h'',$ etc, seront exprimés par la formule $r+eup^{\mu +\nu -1}$ ^[1].

Il est facile de conclure de là que les nombres $h$ , $h'$ , $h''$ , etc. se composent de $r$ ajouté aux produits du nombre $p^{\mu +\nu -1}$ par tous les nombres au-dessous de $p$ , zéro excepté, quand $\mu$ est pair ; ou par tous les non-résidus de $p$ , quand $\mu$ est impair et que $eRp$ , ou, ce qui est la même chose, que $-2mrn'Rp$ ; ou par tous les résidus de $p$ , quand $\mu$ est impair, et que $-2mrn'Np$ .

Au reste, à mesure que l’on aura trouvé les nombres $h$ , $h'$ , $h''$ , etc. pour chacun des excluans que l’on voudra employer, on pourra exécuter l’exclusion par des opérations mécaniques, qu’on découvrira facilement de soi-même, avec un peu d’habitude, si on le trouve avantageux.

↑ On a

$mk\equiv A$ , $m\alpha \equiv A-n\alpha$ , $r^{2}\equiv k{\pmod {p^{\mu +\nu }}}$ et d’ailleurs $na=n'up^{\mu +\nu -1}\,;$ on en déduit sur-le-champ, par les deux premières congruences, $mk-m\alpha \equiv n'up^{\mu +\nu -1}$ ; multipliant la troisième par $m$ , qui n’est pas divisible par $p,$ on obtient $mr^{2}-m\alpha \equiv {\pmod {p^{\mu +\nu \,;}}}$ or en prenant un nombre $e$ tel qu’on ait $2mer\equiv -n'{\pmod {p}}$ , il en résulte $na\equiv -2merup^{\mu +\nu -1}{\pmod {p^{\mu +\nu }}},$ et partant on tire facilement de là et de la congruence précédente, après avoir divisé par $m,$

	$\alpha$	$\equiv r^{2}+2er\mu p^{\mu +\nu -1}$	${\pmod {p^{\mu +\nu }}}$
ou enfin	$\alpha$	$\equiv \left(r+eup^{\mu +\nu -1}\right)^{2}-e^{2}u^{2}p^{2\mu +2\nu -2}$
		$\equiv \left(r+p^{\mu +\nu -1}\right)^{2}$	${\pmod {p^{\mu +\nu }}}$

(Note du traducteur.)

[1] On a
$mk\equiv A$ , $m\alpha \equiv A-n\alpha$ , $r^{2}\equiv k{\pmod {p^{\mu +\nu }}}$ et d’ailleurs $na=n'up^{\mu +\nu -1}\,;$ on en déduit sur-le-champ, par les deux premières congruences, $mk-m\alpha \equiv n'up^{\mu +\nu -1}$ ; multipliant la troisième par $m$ , qui n’est pas divisible par $p,$ on obtient $mr^{2}-m\alpha \equiv {\pmod {p^{\mu +\nu \,;}}}$ or en prenant un nombre $e$ tel qu’on ait $2mer\equiv -n'{\pmod {p}}$ , il en résulte $na\equiv -2merup^{\mu +\nu -1}{\pmod {p^{\mu +\nu }}},$ et partant on tire facilement de là et de la congruence précédente, après avoir divisé par $m,$

$\alpha$ $\equiv r^{2}+2er\mu p^{\mu +\nu -1}$ ${\pmod {p^{\mu +\nu }}}$

ou enfin $\alpha$ $\equiv \left(r+eup^{\mu +\nu -1}\right)^{2}-e^{2}u^{2}p^{2\mu +2\nu -2}$

$\equiv \left(r+p^{\mu +\nu -1}\right)^{2}$ ${\pmod {p^{\mu +\nu }}}$

(Note du traducteur.)

[1]