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ARITHMÉTIQUES.

un travail intolérable, même pour le calculateur le plus infatigable.

Avant de se servir des méthodes suivantes, il est toujours très-utile d’essayer la division du nombre proposé , par quelques-uns des plus petits nombres premiers, comme $2$, $3$, $5$, $7$, etc. jusqu’à $19$, ou encore plus loin, non-seulement afin de ne pas s’exposer à regretter d’avoir employé des méthodes recherchées et des artifices délicats pour trouver des nombres que la seule division aurait pu donner^[1], mais encore parceque dans le cas où aucune division ne réussit, la seconde méthode emploie avec beaucoup de succès les restes qui en résultent. Ainsi, par exemple, si l’on doit décomposer en facteurs le nombre $314159265$, la division par $5$ réussit deux fois, et ensuite la division par $5$ et par $7$, d’où l’on tire

$314159265=9.5.7.997331,$

et il suffit de soumettre à un examen plus méthodique le nombre $997331$, qu’on trouve n’être divisible ni par $11$, ni par $13$, ni par $17$, ni par $19$. De même, étant proposé le nombre $43429448$, nous supprimerons le facteur $8$, et nous appliquerons les méthodes au quotient $5428681$.

330. Le principe qui sert de base à la première méthode est le théorème suivant lequel tout nombre positif ou négatif qui est résidu quadratique d’un autre nombre $M$, est aussi résidu de tout diviseur de $M$. On sait que si $M$ n’est divisible par aucun nombre premier plus petit que ${\sqrt {M}}$, $M$ est certainement un nombre premier ; donc si tous les nombres premiers au-dessous de cette limite, qui divisent $M$ sont $p$, $q$, etc., le nombre $M$ sera composé des seuls nombres $p,$ $q,$ etc. ou de leurs puissances, ou bien il renfermera un seul facteur premier plus grand que ${\sqrt {M}}$, qui se trouve en divisant $M$ par $p$, $q$ etc. autant de fois qu’il est possible. Désignant donc par $\omega$ l’ensemble de tous les nombres premiers au-dessous de $M$, il suffit évidemment d’avoir tous les

diviseurs premiers de $M$ qui sont contenus dans $\omega$. Or si l’on

1. D’autant plus que, généralement parlant, de six nombres il y en a à peine un qui soit non-divisible par tous les nombres $2$, $3$, $5$,……$19$.

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