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RECHERCHES

sait d’une manière quelconque qu’un certain nombre $r$, non-quarré, est résidu de $M$, on pourra être sûr que tout nombre premier, dont $r$ est non-résidu, ne peut être diviseur de $M$, et parconséquent rejeter de $\omega$ tous les nombres qui se trouveront dans ce cas (ils composent le plus souvent presque la moitié de tous les nombres de $\omega$). Si l’on sait encore qu’un autre nombre $r'$ est résidu de $M$ on pourra rejeter des nombres que la première exclusion a laissés dans $\omega$, tous ceux dont $r'$ est non-résidu, qui composent encore presque la moitié, du moins si les résidus $r$ et $r'$ sont indépendans, c’est-à-dire, si l’un n’est pas par lui-même et nécessairement résidu de tous les nombres dont l’autre est résidu, ce qui arriverait quand $rr'$ serait un quarré. Si l’on connaît encore d’autres résidus de $M$, $r''$, $r'''$, etc. qui soient tous indépendans de ceux qui précèdent^[1], on peut faire avec chacun d’eux des exclusions semblables, au moyen desquelles les nombres contenus dans ω décroissent avec tant de rapidité que bientôt, ou ils sont tous effacés, auquel cas le nombre $M$ est premier, ou il en reste si peu que la division peut être essayée sans peine ; dans ce dernier cas, parmi les nombres qui restent se trouvent nécessairement les diviseurs de $M$ s’il en existe. Pour un nombre qui ne surpasse pas beaucoup $1\,000\,000$, il suffit le plus souvent de six ou sept exclusions ; et de neuf ou dix, pour un nombre de huit ou neuf chiffres. Il nous reste maintenant deux choses à faire, 1^o. à trouver des résidus de $M$ qui soient convenables et en assez grand nombre ; 2^o. à effectuer l’exclusion de la manière la plus commode. Mais nous intervertirons l’ordre de ces questions, d’autant plus que la seconde nous apprendra quels sont les résidus qui conviennent le mieux.

331. Nous avons enseigné avec assez de détails dans la Section IV, à distinguer les nombres premiers dont un nombre donné $r$ est résidu ($r$ n’étant divisible par aucun quarré), d’avec ceux dont il est non-résidu, c’est-à-dire, les diviseurs de $x^{2}-r$ d’avec les

1. Si le produit de tant de nombres $r$, $r'$, $r''$, etc. qu’on voudra est un quarré, un quelconque d’entre eux, $r$ par exemple, sera résidu de tout nombre dont les autres seront résidus. Ainsi, pour que les résidus soient indépendans, il faut que leurs produits ne puissent être des quarrés, soit quon les prenne deux à deux, ou trois à trois, ou quatre à quatre, etc.