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RECHERCHES
congruences qui reviennent à , . Chacune d’elles sera évidemment satisfaite, si . Concluons de là que les valeurs de , , et que l’on obtient en faisant successivement
, , , , doivent être combinées respectivement avec les
valeurs , , , de ; desorte qu’il y a quatre solutions.
À ces recherches qui remplissent la tâche que nous nous étions
proposée dans ce chapitre, nous joindrons quelques propositions
qui se rapportent aux mêmes principes, et qui seront d’un fréquent
usage par la suite.
38. Problème. Trouver combien il y a de nombres plus petits qu’un nombre donné , et premiers avec lui ? Désignons, pour abréger, le nombre cherché par le caractère placé avant le nombre donné ; le nombre cherché sera .
1o. Quand est premier, il est évident que tous les nombres,
depuis jusqu’à , sont premiers avec , et partant, dans ce
cas, on
2o. Quand est une puissance d’un nombre premier , par
exemple ; tous les nombres divisibles par ne seront pas premiers
avec , les autres le seront ; c’est pourquoi de nombres, il
faut rejeter ceux-ci :
Il en restera donc
donc …
3o. Les autres cas se ramènent facilement à ceux-ci, au moyen
de la proposition suivante : Si on décompose en facteurs , , , etc. premiers entr’eux, on aura , etc.,
qui se démontre ainsi qu’il suit. Soient , , , etc. les nombres
premiers avec et plus petits que lui. Soient de même , , , etc.,
, , , etc., etc. les nombres premiers avec , , etc.
, , , etc., etc. les nombres premiers avec , , , etc. respectivement, et plus petits qu’eux ; il est évident que tous les nombres
premiers avec le seront aussi avec les facteurs , , , etc.,
et réciproquement (no 19), et que tous les nombres qui seront congrus à l’un quelconque des nombres , etc. suivant le module , seront premiers avec ; de même pour , , etc. La