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RECHERCHES

I. La méthode la plus simple et la plus commode pour ceux à qui l’habitude a donné quelque dextérité, consiste à décomposer le nombre $M$, ou plus généralement, un multiple quelconque de ce nombre en deux parties quelconques, ensorte qu’on ait $kM=a+b$, $a$ et $b$ étant tous deux positifs, ou l’un positif et l’autre négatif ; le produit pris avec un signe contraire sera résidu de $M$ ; en effet, on aura $-ab\equiv a^{2}\equiv b^{2}{\pmod {M}}$, et partant $-abRM$. On doit prendre les nombres $a$ et $b$ de manière que le produit soit divisible par un grand quarré, et que la division donne un quotient assez petit, ou du moins décomposable en facteurs qui ne soient pas trop grands, ce qu’on peut toujours faire sans peine. On doit surtout recommander de prendre pour $a$ un quarré, ou le double, ou le triple d’un quarré, dont la différence avec $M$ soit petite ou du moins décomposable en facteurs qui puissent être employés commodément.

Ainsi, par exemple, on trouve

$997331$	$=(999)^{2}-2.5.67$	$=(994)^{2}+5.11.13^{2}$
	$=2.(706)^{2}+3.17.3^{2}$	$=3.(575)^{2}+11.31.4$
	$=3.(577)^{2}-7.13.4^{2}$	$=3.(578)^{2}-7.19.37$
	$=11.(299)^{2}+2.3.5.29.4^{2}$	$=11.(301)^{2}+5.11^{2}$, etc.

On tire de là les résidus :

$2.5.67,\,-5.11,\,-2.3.17,\,-3.11.31,\,3.7.13,\,3.7.19,37,\,-2.3.5.11.29\,;$

la dernière décomposition donne le résidu $-5.11$, que nous avons déjà. Au lieu des résidus $-3.11.31$ et $2.5.5.11.29$, on peut tirer de leur combinaison avec $-5.11$, les résidus $3.5.31,2.3.29$.

II. La seconde et la troisième méthode se déduisent de ce que, si deux formes binaires $(A,B,C)$, $(A',B',C')$ de même déterminant $M$ ou $-M$, ou plus généralement $\pm kM$, appartiennent au même genre, les nombres $AA'$, $AC'$, $A'C$ sont résidus de $kM$, ainsi qu’il est aisé de le conclure de ce que le nombre caractéristique de l’une des formes est également celui de l’autre, et que parconséquent, si l’on représente ce nombre par $m$, les nombres $mA,$ $mC,$ $mA',$ $mC'$ sont tous résidus de $kM.$ Si donc $(a,b,a')$ est une forme réduite de déterminant positif $M$, ou plus généralement, de déterminant $kM$, et que $(a',b',c')$,