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ARITHMÉTIQUES.

elle réussit, et l’on a

$997331=127\times 7853$^[1].

Au reste, il suit de ce que nous venons d’exposer, qu’il faut employer surtout des résidus qui ne soient pas très-grands, ou du moins qui puissent se décomposer en facteurs premiers de grandeur moyenne, puisque l’usage immédiat de la table auxiliaire ne s’étend pas au-delà des nombres placés en tête, et que l’usage médiat ne s’étend qu’aux nombres qui peuvent se décomposer en facteurs premiers contenus dans la table.

332. Nous donnerons trois méthodes différentes pour trouver des résidus du nombre $M$ ; mais avant de les exposer, nous présenterons deux observations à l’aide desquelles on pourra déduire des résidus plus simples, lorsque ceux que l’on aura obtenus ne paraîtront pas convenables.

1^o. Si le nombre $ak^{2}$, divisible par le quarré $k^{2}$, que nous supposons premier avec $M$, est résidu de $M$, $a$ sera aussi résidu ; ainsi les résidus divisibles par de grands quarrés sont aussi utiles que les petits, et nous supposerons que les résidus trouvés par les méthodes suivantes aient été délivrés de leurs facteurs quarrés.

2^o. Si deux ou plusieurs nombres sont résidus, leur produit le sera aussi. En combinant cette observation avec la précédente, on peut très-souvent déduire de plusieurs résidus qui ne sont pas tous assez simples, un autre qui le soit beaucoup, pourvu qu’ils aient un grand nombre de facteurs communs. C’est pourquoi il est utile d’avoir des résidus composés de plusieurs facteurs qui ne soient pas trop grands, et il convient de les décomposer sur-le-champ en leurs facteurs. La force de ces observations se reconnaîtra mieux par des exemples et par un usage fréquent, que par des préceptes.

1. L’auteur a construit pour son propre usage une grande partie de l’appareil de cette table, et il l’aurait publié volontiers, si le petit nombre de ceux auxquels elle serait utile, suffisait aux frais d’une telle entreprise ; cependant si quelque amateur, après s’être bien pénétré des principes, desirait se construire une pareille table, l’auteur se ferait un grand plaisir de lui communiquer, par lettres, les différens procédés et les artifices que l’on peut employer.